La idea de razón de cambio

01 · Punto de partida

No alcanza con saber cuánto vale

Una función permite calcular una salida a partir de una entrada. Si d(t) representa la distancia recorrida por un objeto en el instante t, conocer d(2) = 4 nos dice dónde está a los dos segundos. Sin embargo, no nos dice si se mueve rápido, lentamente o si está detenido.

Para describir el movimiento necesitamos comparar dos estados. Consideremos el modelo:

Entre t = 2 y t = 3, el tiempo aumenta un segundo y la distancia pasa de 4 a 9 metros:

Durante ese intervalo se recorrieron 5 m en 1 s. La comparación 5 m / 1 s expresa una velocidad promedio de 5 m/s. Este cociente es una razón de cambio.

02 · El lenguaje de los cambios

Incremento de entrada e incremento de salida

Sea una función y = f(x). Elegimos una entrada inicial x₁ y una entrada final x₂. El símbolo griego delta mayúscula, Δ, se utiliza para indicar una diferencia:

La razón entre ambos incrementos es:

En el ejemplo anterior, x₁ = 2, x₂ = 3, Δx = 1 y Δy = 5. Por lo tanto, Δy/Δx = 5.

03 · Interpretación

Cómo leer el cociente

Supongamos que el costo C(n) de procesar solicitudes pasa de 120 ms para n = 100 solicitudes a 180 ms para n = 140. Entonces:

El resultado se lee: «en ese intervalo, el tiempo de procesamiento aumentó en promedio 1,5 ms por cada solicitud adicional». La frase completa conserva cuatro datos importantes:

Variable de entrada

La cantidad de solicitudes procesadas.

Variable de salida

El tiempo total de procesamiento.

Intervalo

Desde 100 hasta 140 solicitudes; el resultado pertenece a esa comparación.

Unidades

Milisegundos por solicitud, no simplemente milisegundos.

Decir solamente «la razón es 1,5» pierde información. En modelos reales, el número, las unidades y el intervalo forman una sola interpretación.

04 · Dirección del cambio

El signo también cuenta una historia

Si recorremos el intervalo con x₂ > x₁, entonces Δx es positivo. En ese caso, el signo de la razón muestra la dirección en la que cambia la salida:

Por ejemplo, si la carga de una batería baja de 80 % a 62 % durante 3 h, su razón de cambio promedio es (62 − 80)/3 = −6 %/h. El signo negativo expresa una disminución; no significa que la medición sea incorrecta.

Una razón nula tampoco garantiza que la función haya permanecido constante dentro del intervalo. Podría haber aumentado y luego disminuido hasta regresar al valor inicial. Solo afirma que los dos extremos tienen la misma salida.

05 · Normalizar para comparar

El cambio total puede engañar

Dos procesos pueden acumular el mismo cambio total en intervalos diferentes. Supongamos que dos descargas transfieren 600 MB:

El cambio total es idéntico, pero el proceso A transfiere más datos por segundo. Dividir por el cambio de entrada normaliza la variación y permite comparar intervalos de tamaños distintos.

06 · Interpretación gráfica

La razón de cambio es una pendiente

Los puntos P = (x₁, f(x₁)) y Q = (x₂, f(x₂)) pertenecen al gráfico de la función. La recta que pasa por ambos se llama recta secante. Su pendiente es exactamente la razón de cambio entre las dos entradas:

• Una secante que sube de izquierda a derecha tiene pendiente positiva.
• Una secante horizontal tiene pendiente cero.
• Una secante que baja de izquierda a derecha tiene pendiente negativa.
• Cuanto mayor sea el valor absoluto de la pendiente, mayor es la inclinación.

La secante resume el cambio global entre dos puntos, aunque el gráfico sea curvo entre ellos. En temas posteriores acercaremos esos puntos hasta obtener la dirección local de la curva: la recta tangente y la derivada.

07 · Mirada computacional

¿Dónde aparecen estas razones al programar?

Los programas reciben mediciones en instantes o configuraciones discretas. Comparar muestras permite describir cómo evoluciona un sistema incluso antes de construir un modelo continuo.

Rendimiento

Solicitudes por segundo, milisegundos adicionales por usuario o variación de memoria por tarea.

Videojuegos y simulaciones

Desplazamiento por unidad de tiempo, consumo de energía y cambio de una propiedad entre cuadros.

Análisis de datos

Variación de ventas por mes, cambio de temperatura por hora o crecimiento entre observaciones.

Interfaces y animaciones

Cambio de posición, opacidad o escala entre dos instantes de una transición.

La computadora calcula diferencias finitas porque dispone de muestras finitas. La derivada, en cambio, expresará una razón de cambio instantánea mediante un límite. Comprender esta distinción evita confundir una medición entre cuadros con el comportamiento exacto en un instante.

08 · Exploración interactiva

Laboratorio: mover el segundo punto

El punto P permanece fijo en x₁. Modificá la distancia h para mover Q hasta x₂ = x₁ + h. El laboratorio calcula los incrementos y dibuja la secante.

La curva representa la función. Los puntos P y Q determinan una recta secante cuya pendiente coincide con el cociente entre los incrementos.

Preguntas para explorar

1. En f(x) = x², reducí h. ¿La pendiente de la secante aumenta o disminuye?
2. Elegí f(x) = 2x + 1 y probá distintos intervalos. ¿Por qué la razón no cambia?
3. Elegí el modelo decreciente. ¿Qué signo tienen Δy y la pendiente?
4. Compará la inclinación visual de la secante con el valor numérico de Δy/Δx.

09 · Implementación

Calcular razones de cambio con JavaScript

Una función puede recibir el modelo y los dos extremos del intervalo. Además del cociente, conviene devolver los valores intermedios para que el resultado pueda inspeccionarse:

function razonDeCambio(funcion, x1, x2) {
  if (x1 === x2) {
    throw new Error("Los extremos deben ser diferentes");
  }

  const y1 = funcion(x1);
  const y2 = funcion(x2);
  const deltaX = x2 - x1;
  const deltaY = y2 - y1;

  return {
    x1, x2, y1, y2,
    deltaX,
    deltaY,
    razon: deltaY / deltaX
  };
}

const distancia = tiempo => tiempo ** 2;
console.log(razonDeCambio(distancia, 2, 3));

El resultado contiene deltaX: 1, deltaY: 5 y razon: 5. Mantener los incrementos permite verificar el cálculo y construir después tablas, gráficos o mensajes con unidades.

Comparar varios intervalos

function razonDeCambio(funcion, x1, x2) {
  if (x1 === x2) throw new Error("Δx no puede ser cero");
  return (funcion(x2) - funcion(x1)) / (x2 - x1);
}

const f = x => x ** 2;
const intervalos = [[0, 1], [1, 2], [2, 3], [3, 4]];

for (const [inicio, fin] of intervalos) {
  console.log(
    `[${inicio}, ${fin}]:`,
    razonDeCambio(f, inicio, fin),
    "unidades de salida por unidad de entrada"
  );
}

Para f(x) = x², las razones obtenidas son 1, 3, 5 y 7. La función no cambia a un ritmo constante: intervalos del mismo ancho producen incrementos de salida cada vez mayores.

10 · Datos y modelos

La fórmula no siempre está disponible

También podemos calcular razones de cambio a partir de una tabla de mediciones. Si un monitor registra el uso de memoria de un proceso, dos muestras bastan para obtener una razón promedio:

function razonEntreMuestras(inicial, final) {
  const deltaTiempo = final.tiempo - inicial.tiempo;
  const deltaMemoria = final.memoria - inicial.memoria;

  if (deltaTiempo === 0) return null;
  return deltaMemoria / deltaTiempo;
}

const muestra1 = { tiempo: 10, memoria: 240 };
const muestra2 = { tiempo: 25, memoria: 300 };

console.log(razonEntreMuestras(muestra1, muestra2)); // 4 MB/s

El valor 4 MB/s resume lo ocurrido entre ambas muestras, pero no permite reconstruir cada instante intermedio. El consumo pudo crecer regularmente, dar saltos o incluso disminuir temporalmente. Una razón promedio comprime información y debe interpretarse con ese alcance.

11 · Comprensión

Confusiones frecuentes

12 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: identificar los incrementos

La temperatura de un servidor pasa de 48 °C a 60 °C entre las 14:00 y las 14:30. Calculá Δt, ΔT y la razón de cambio en grados Celsius por minuto.

Ejercicio 2: interpretar el signo

Una batería pasa de 90 % a 54 % en 6 h. Calculá e interpretá la razón de cambio.

Ejercicio 3: trabajar con una función

Para f(x) = 3x² − 2, calculá la razón de cambio entre x₁ = 1 y x₂ = 4.

Ejercicio 4: detectar un error de código

El siguiente programa pretende calcular una razón de cambio. Explicá el error y corregilo.

function razonIncorrecta(f, x1, x2) {
  return f(x2) - f(x1) / x2 - x1;
}

function razonDeCambio(f, x1, x2) {
  if (x1 === x2) throw new Error("Δx no puede ser cero");
  return (f(x2) - f(x1)) / (x2 - x1);
}

Ejercicio 5: razonar sin calcular

Una función toma el mismo valor en los extremos de un intervalo. ¿Qué razón de cambio tiene entre esos puntos? ¿Podemos asegurar que fue constante dentro del intervalo?

13 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema formalizaremos la razón de cambio promedio, estudiaremos su cálculo en distintos tipos de funciones y compararemos intervalos de manera sistemática.