Cuándo una función no es derivable

01 · Volver a la definición

La derivada falla cuando el límite no produce un número único y finito

En un punto interior a, la derivada se define mediante:

Decir que f no es derivable en a significa que este proceso no termina en un único número real finito. Las causas pueden ser muy diferentes:

• la función no es continua o ni siquiera está definida en el punto;
• las pendientes laterales se aproximan a números distintos;
• las pendientes crecen sin cota;
• los cocientes oscilan y no se estabilizan;
• el dominio no contiene puntos cercanos suficientes.

02 · Diagnóstico inicial

Qué comprobar antes de calcular

1. 1
   ¿Existe f(a)?

   La definición necesita el valor puntual. Si no existe, tampoco existe la derivada ordinaria allí.

2. 2
   ¿Es continua en a?

   Una discontinuidad descarta inmediatamente la derivabilidad.

3. 3
   ¿Qué lados pertenecen al dominio?

   En un punto interior comparamos ambos; en un extremo declaramos el límite lateral disponible.

4. 4
   ¿Los cocientes tienen límites finitos?

   Se analiza cada lado antes de compararlos.

5. 5
   ¿Los límites coinciden?

   Solo entonces existe una derivada bilateral.

Este orden evita cálculos innecesarios y separa problemas de valor, continuidad, dominio y pendiente.

03 · Primera causa

Una discontinuidad impide la derivada

Como derivabilidad implica continuidad, cualquier discontinuidad descarta la derivada. Consideremos la función escalón:

Para h > 0, el cociente en cero vale 1/h. Para h < 0, vale (−1)/h, que también crece positivamente sin cota. La pendiente no falla simplemente por ser grande: el problema previo es que los valores laterales ni siquiera se aproximan a f(0).

04 · Pendientes finitas diferentes

Esquinas

Una esquina aparece cuando la función es continua y cada lado tiene una pendiente finita, pero los valores no coinciden. Para f(x) = |x| en cero:

El gráfico llega al punto con una dirección y sale con otra. No existe una única recta tangente que represente ambos lados.

Las funciones por partes y operaciones como max, min o valor absoluto suelen crear esquinas que deben revisarse en los puntos donde cambia la fórmula activa.

05 · Pendientes opuestas sin cota

Cúspides

Una cúspide es más aguda que una esquina. Un ejemplo es:

En cero, el cociente incremental es:

Cuando h → 0⁻, el cociente tiende a −∞; cuando h → 0⁺, tiende a +∞. Los lados se vuelven verticales, pero apuntan con signos opuestos.

06 · Una dirección vertical común

Tangentes verticales

Para f(x) = ∛x en cero:

El cociente crece hacia +∞ desde ambos lados. El gráfico se aproxima a una dirección vertical común, cuya recta es x = 0.

Geométricamente podemos hablar de tangente vertical, pero su pendiente no es un número real finito. Por lo tanto, f′(0) no existe en el sentido ordinario.

07 · Sin tendencia de pendiente

Oscilaciones del cociente incremental

Definamos:

La función es continua en cero porque |x sin(1/x)| ≤ |x|, que tiende a cero. Pero el cociente incremental es:

Cuando h → 0, el argumento 1/h crece y el seno oscila entre −1 y 1 sin aproximarse a un número. Las pendientes secantes quedan acotadas, pero no se estabilizan.

08 · Restricciones del dominio

No confundir un extremo con un fallo interior

En un extremo del dominio falta uno de los lados por definición. Esto no es una esquina ni una discontinuidad. Debemos declarar y analizar la derivada lateral disponible.

Por ejemplo, f(x) = 3x restringida a [0, ∞) tiene derivada derecha 3 en cero. En cambio, √x tiene allí cocientes derechos sin cota y no posee derivada lateral finita.

09 · Mapa de comportamientos

Comparar las causas de no derivabilidad

10 · Estrategia de decisión

Un procedimiento ordenado

1. Si f(a) no existe o la función es discontinua, concluir que no es derivable.
2. Determinar si a es interior, extremo o punto aislado del dominio.
3. Calcular los cocientes laterales disponibles.
4. Clasificar cada tendencia como finita, sin cota u oscilatoria.
5. En un punto interior, comparar los dos valores finitos.

Este procedimiento produce una explicación verificable, no solo una impresión visual.

11 · Contratos de software

No convertir un fallo matemático en un número arbitrario

Un sistema que maneja derivadas debe distinguir valores válidos de diferentes tipos de fallo:

function resultadoDerivada(estado, valor = null, detalle = "") {
  return { estado, valor, detalle };
}

const ejemplos = {
  suave: resultadoDerivada("existe", 2),
  esquina: resultadoDerivada("no_existe", null, "laterales diferentes"),
  vertical: resultadoDerivada("no_finita", null, "pendientes sin cota"),
  fueraDelDominio: resultadoDerivada("no_disponible", null, "f(a) no existe")
};

console.log(ejemplos);

Devolver siempre 0 ocultaría diferencias importantes. null acompañado por un estado permite que el programa decida si debe mostrar un mensaje, aplicar una convención documentada o detener el cálculo.

12 · Exploración interactiva

Laboratorio: clasificar el fallo

Elegí un comportamiento y reducí |h|. Compará los cambios de salida, las pendientes laterales y el diagnóstico matemático.

La curva amarilla representa la función. Las rectas violeta y coral son secantes laterales cuya evolución permite clasificar el fallo.

Preguntas para explorar

1. Compará la esquina y la cúspide. ¿Qué diferencia aparece en el tamaño de las pendientes?
2. Compará la cúspide y la tangente vertical. ¿Cómo cambian los signos laterales?
3. En la oscilación, mové el nivel lentamente. ¿Las pendientes crecen o simplemente cambian sin estabilizarse?
4. Usá x² como control: ¿qué patrón distingue un punto derivable?

13 · Evidencia numérica

Registrar tendencias sin afirmar demasiado

Podemos generar una secuencia de pendientes laterales para inspeccionarla:

function explorarLaterales(f, a, niveles = 5) {
  const fa = f(a);
  const filas = [];

  for (let n = 1; n <= niveles; n++) {
    const h = 10 ** -n;
    filas.push({
      h,
      izquierda: (f(a - h) - fa) / -h,
      derecha: (f(a + h) - fa) / h
    });
  }

  return filas;
}

console.log(explorarLaterales(x => Math.abs(x), 0));

Clasificaciones conocidas

const diagnosticos = new Map([
  ["x² en 0", { derivable: true, tipo: "suave" }],
  ["|x| en 0", { derivable: false, tipo: "esquina" }],
  ["∛x en 0", { derivable: false, tipo: "tangente vertical" }]
]);

for (const [caso, diagnostico] of diagnosticos) {
  console.log(caso, diagnostico);
}

14 · Comprensión

Confusiones frecuentes

15 · Práctica guiada

Ejercicios de diagnóstico

Ejercicio 1: discontinuidad

Una función presenta un salto en x = 4. ¿Qué podés concluir sobre f′(4)?

Ejercicio 2: clasificar laterales

Los cocientes tienden a −5 por izquierda y a 2 por derecha. ¿Qué tipo de comportamiento sugieren?

Ejercicio 3: distinguir infinito

Los cocientes tienden a +∞ desde ambos lados. ¿Existe la derivada real? ¿Qué interpretación geométrica es posible?

Ejercicio 4: oscilación

Una función es continua en a, pero su cociente incremental alterna entre valores próximos a −1 y 1 al reducir |h|. ¿Qué concluís?

Ejercicio 5: codificar un diagnóstico

Completá el resultado para una esquina.

function diagnosticarEsquina(izquierda, derecha) {
  if (Number.isFinite(izquierda) &&
      Number.isFinite(derecha) &&
      izquierda !== derecha) {
    return null; // completar
  }
  return "otro caso";
}

function diagnosticarEsquina(izquierda, derecha) {
  if (Number.isFinite(izquierda) &&
      Number.isFinite(derecha) &&
      izquierda !== derecha) {
    return "esquina: pendientes laterales finitas diferentes";
  }
  return "otro caso";
}

console.log(diagnosticarEsquina(-1, 1));

16 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema comenzaremos a calcular derivadas de forma eficiente mediante las reglas para constantes y potencias.