Potencias, raíces y exponentes racionales

01 · Ampliar la regla

La potencia no termina en los exponentes enteros

La regla estudiada inicialmente para enteros positivos se extiende a exponentes racionales:

Si r=p/q, con p entero y q entero positivo, la potencia se relaciona con una raíz:

La fórmula derivada conserva la misma apariencia, pero el dominio ya no puede ignorarse. Debemos responder tres preguntas antes de aplicarla:

• ¿La raíz es de índice par o impar?
• ¿El exponente es positivo, cero o negativo?
• ¿El punto estudiado es interior del dominio, un extremo o un valor excluido?

02 · Qué significa p/q

Reducir la fracción antes de analizar el dominio

El exponente racional debe escribirse en forma irreducible, con q > 0. Por ejemplo, 2/6 se reduce a 1/3. La paridad del denominador reducido determina el tipo de raíz.

Si además p < 0, la potencia contiene un recíproco y debemos excluir x=0. Por ejemplo:

03 · Regla y condiciones

La misma fórmula dentro del dominio adecuado

Para r=p/q racional, la regla es:

Se aplica directamente en puntos interiores donde la potencia resultante está definida. Para x ≠ 0, esto significa:

El punto x=0 merece un análisis propio: la derivada puede valer cero, crecer sin cota o no existir, según el exponente y los lados disponibles.

04 · Raíz de índice par

Derivada de la raíz cuadrada

Escribimos √x=x¹⁄². Para x > 0:

La fórmula también puede obtenerse desde la definición racionalizando:

Cuando h→0 y x>0, el resultado tiende a 1/(2√x).

En x=0, la función está definida y solo podemos aproximarnos desde la derecha dentro del dominio:

No existe una derivada lateral finita en cero. Geométricamente aparece una tangente vertical en el extremo del dominio.

05 · Raíz de índice impar

La raíz cúbica admite entradas negativas

Como ∛x=x¹⁄³, para x≠0:

El denominador es positivo tanto para x>0 como para x<0, por lo que la función crece a ambos lados.

En cero, el cociente incremental es:

La función está definida y es continua en cero, pero no tiene una derivada real finita allí. El gráfico presenta una tangente vertical interior.

06 · Comportamiento en el origen

El valor del exponente decide la pendiente

Para f(x)=xʳ con r>0, el cociente incremental en cero es:

Su comportamiento depende de r−1 y del dominio:

Por ejemplo, x³⁄² tiene derivada derecha 0 en cero, mientras que x²⁄³ presenta una cúspide: sus pendientes crecen sin cota con signos opuestos.

07 · Potencias recíprocas

Un exponente negativo excluye el cero

Si r<0, entonces xʳ=1/x⁻ʳ. La regla conserva su forma:

Para f(x)=x⁻¹⁄²=1/√x:

Para g(x)=x⁻²⁄³, el denominador reducido es impar, de modo que admite entradas positivas y negativas, pero no cero:

08 · Potencia racional compuesta

Combinar la extensión con la regla de la cadena

Para F(x)=[g(x)]ʳ:

La fórmula es válida donde la composición y los factores de la derivada estén definidos. Ejemplo:

Como x²+1>0 para todo real, esta derivada está definida en todo ℝ.

En cambio, para G(x)=√(x−3), el dominio es x≥3 y:

En x=3, la función existe pero la derivada derecha no es finita.

09 · Elegir una escritura útil

Raíz, potencia y recíproco expresan la misma estructura

La notación de potencia facilita derivar; la notación de raíz o fracción suele hacer más visible el dominio. Conviene poder pasar de una a otra sin perder restricciones.

10 · Estrategia de cálculo

Un procedimiento centrado en el dominio

1. Expresá el exponente como fracción irreducible con denominador positivo.
2. Usá la paridad del denominador y el signo del numerador para establecer el dominio.
3. Identificá si la base es x o una función compuesta g(x).
4. Aplicá r[g(x)]ʳ⁻¹g′(x).
5. Determiná dónde la expresión derivada es real y finita.
6. Analizá por definición cualquier extremo o punto especial, en particular x=0.

11 · Exploración interactiva

Laboratorio: dominio y pendiente cerca de cero

Elegí una potencia racional, mové el punto a y reducí h. El laboratorio distingue valores fuera del dominio, puntos definidos sin derivada finita y puntos con derivada ordinaria.

La curva amarilla representa la potencia, la recta coral es una secante y la violeta es la tangente cuando existe una derivada finita.

Preguntas para explorar

1. Compará √x y ∛x para entradas negativas y en cero.
2. En x³⁄², ¿qué derivada lateral aparece en cero?
3. En x²⁄³, acercate a cero desde ambos lados. ¿Cómo cambian los signos?
4. Elegí x⁻¹⁄². ¿Qué restricción adicional introduce el exponente negativo?

12 · Semántica numérica

Calcular potencias racionales reales

En JavaScript, (-8) ** (1/3) produce NaN, aunque la raíz cúbica real sea −2. Para respetar la interpretación real de p/q, podemos tratar por separado las raíces impares:

function mcd(a, b) {
  a = Math.abs(a);
  b = Math.abs(b);
  while (b !== 0) [a, b] = [b, a % b];
  return a;
}

function reducirExponente(p, q) {
  if (!Number.isInteger(p) || !Number.isInteger(q) || q === 0) {
    throw new TypeError("p y q deben ser enteros, con q distinto de cero");
  }
  if (q < 0) { p = -p; q = -q; }
  const divisor = mcd(p, q);
  return [p / divisor, q / divisor];
}

function potenciaRacionalReal(x, p, q) {
  [p, q] = reducirExponente(p, q);

  if (x === 0 && p < 0) {
    throw new RangeError("La potencia no está definida en cero");
  }
  if (x < 0 && q % 2 === 0) {
    throw new RangeError("La raíz par no es real para x negativo");
  }

  const raiz = x < 0 ? -((-x) ** (1 / q)) : x ** (1 / q);
  return raiz ** p;
}

console.log(potenciaRacionalReal(-8, 1, 3)); // -2
console.log(potenciaRacionalReal(16, 3, 2)); // 64

La función reduce el exponente antes de decidir el dominio. Esto hace explícitas decisiones matemáticas que el operador nativo no representa para todas las bases negativas.

13 · Estados del resultado

No confundir valor, derivada lateral y fallo

En cero, devolver un número o null sin explicación pierde información. Podemos usar un resultado estructurado:

function derivadaPotenciaRacional(p, q, x) {
  [p, q] = reducirExponente(p, q);
  const r = p / q;

  try {
    potenciaRacionalReal(x, p, q);
  } catch (error) {
    return { estado: "fuera_del_dominio", valor: null };
  }

  if (x === 0) {
    if (r === 0) return { estado: "existe", valor: 0 };
    if (r > 1) {
      const lado = q % 2 === 0 ? "derecha" : "bilateral";
      return { estado: "existe", valor: 0, lado };
    }
    if (r === 1) return { estado: "existe", valor: 1 };
    return { estado: "no_finita", valor: null };
  }

  return {
    estado: "existe",
    valor: r * potenciaRacionalReal(x, p - q, q)
  };
}

console.log(derivadaPotenciaRacional(3, 2, 0));
// { estado: "existe", valor: 0, lado: "derecha" }

console.log(derivadaPotenciaRacional(1, 2, 0));
// { estado: "no_finita", valor: null }

14 · Comprensión

Confusiones frecuentes

15 · Práctica guiada

Ejercicios de aplicación

Ejercicio 1: potencia positiva racional

Derivá f(x)=x⁵⁄² e indicá dónde se aplica la fórmula.

Ejercicio 2: raíz compuesta

Calculá la derivada de g(x)=√(3x²+1).

Ejercicio 3: exponente negativo

Derivá h(x)=x⁻³⁄² y determiná el dominio real.

Ejercicio 4: comportamiento en cero

Compará x⁴⁄³ y x²⁄³ en cero.

Ejercicio 5: corregir dominio y derivada

Se afirmó que d/dx[1/√(x−2)] = −1/[2(x−2)³⁄²] para x≥2. ¿Qué debe corregirse?

Ejercicio 6: completar una potencia real

Completá el tratamiento de bases negativas para un denominador impar.

function raizImparReal(x, q) {
  if (!Number.isInteger(q) || q <= 0 || q % 2 === 0) {
    throw new RangeError("q debe ser impar y positivo");
  }
  if (x < 0) return null; // completar
  return x ** (1 / q);
}

function raizImparReal(x, q) {
  if (!Number.isInteger(q) || q <= 0 || q % 2 === 0) {
    throw new RangeError("q debe ser impar y positivo");
  }
  if (x < 0) return -((-x) ** (1 / q));
  return x ** (1 / q);
}

console.log(raizImparReal(-32, 5)); // -2

16 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos las derivadas de funciones exponenciales, donde la variable pasa de la base al exponente.