Derivadas de funciones por partes y valor absoluto

01 · Una regla según la región

Las funciones por partes aparecen en modelos y programas

Una función por partes usa distintas expresiones según una condición. Por ejemplo:

Dentro de cada intervalo se aplican las reglas habituales. La dificultad está en los puntos donde cambia la fórmula.

02 · Mirar desde ambos lados

Derivadas laterales

La derivada ordinaria existe si ambos límites existen como números finitos y son iguales:

Si difieren, hay una esquina. Si crecen sin límite puede haber una cúspide o tangente vertical, pero no una derivada real finita.

03 · Punto de unión

Primero continuidad, después pendientes

Para una función con fórmula g a la izquierda y h a la derecha de a:

1. Valor. Calculá f(a) según el tramo que incluye la igualdad.
2. Continuidad. Verificá lim g(x)=f(a)=lim h(x).
3. Derivadas laterales. Calculá g′(a) y h′(a).
4. Comparación. La función es derivable solo si ambas pendientes coinciden.

04 · Unión suave

Dos fórmulas pueden formar una sola curva diferenciable

Consideremos f(x)=x² si x<1 y f(x)=2x−1 si x≥1. En x=1:

La función es continua y derivable en la unión, aunque su segunda derivada cambia de 2 a 0 y no existe allí.

05 · El modelo clásico

Por qué |x| no es derivable en cero

La función es continua, pero las pendientes laterales son opuestas:

Por lo tanto, |x| tiene una esquina en cero. Para x≠0:

06 · Valor absoluto compuesto

La regla de |g(x)|

En puntos donde g(x)≠0:

En un cero g(a)=0, esta fórmula no se puede usar. Si g′(a)≠0, normalmente aparece una esquina. Si g′(a)=0, hay que volver a la definición: por ejemplo, |x²|=x² sí es derivable en cero.

Para |x²−1| aparecen esquinas en x=−1 y x=1.

07 · Formas de no derivabilidad

No todos los fallos son iguales

08 · Diseñar una unión

Elegir parámetros para lograr continuidad y derivabilidad

Sea f(x)=ax+b para x<1 y f(x)=x² para x≥1. Continuidad exige a+b=1. Igualdad de pendientes exige a=2. Por tanto, b=−1.

Estas dos ecuaciones permiten “coser” las ramas con continuidad de clase C¹.

09 · Condiciones en código

ReLU, máximo y mínimo

La función ReLU(x)=max(0,x) es central en redes neuronales:

En cero no tiene derivada clásica. Las bibliotecas eligen convencionalmente un subgradiente, a menudo 0. Esa decisión computacional no convierte a ReLU en derivable.

max(u,v)=(u+v+|u−v|)/2 ayuda a localizar posibles esquinas donde u=v.

10 · Grados de suavidad

Continua no significa derivable

Una función C⁰ es continua. Una función C¹ tiene primera derivada continua; una C², segunda derivada continua. Una unión puede ser derivable pero no C¹ si la derivada existe y no es continua alrededor del punto.

En animación, interpolación y trayectorias, elegir el grado de suavidad evita saltos en posición, velocidad o aceleración.

11 · Exploración interactiva

Laboratorio: pendientes laterales

Elegí una función, mové el punto y reducí h. El laboratorio estima las pendientes desde ambos lados y clasifica la unión.

12 · Implementación

Funciones por partes en JavaScript

function piecewise(condition, whenTrue, whenFalse) {
  return x => condition(x) ? whenTrue(x) : whenFalse(x);
}

const f = piecewise(x => x < 1, x => x * x, x => 2 * x - 1);

function lateralDerivatives(f, a, h = 1e-5) {
  const fa = f(a);
  return {
    left:  (fa - f(a - h)) / h,
    right: (f(a + h) - fa) / h
  };
}

Comparar números flotantes requiere tolerancia. Además, una coincidencia numérica no reemplaza la demostración analítica, especialmente cerca de saltos o pendientes no acotadas.

13 · Estrategia

Lista de comprobación

1. Ubicá las fronteras. Son los valores donde cambia la condición.
2. Derivá cada interior. No incluyas automáticamente los extremos.
3. Comprobá continuidad. Compará límites laterales y valor.
4. Calculá derivadas laterales. Usá la definición o las expresiones de cada rama.
5. Clasificá. Decidí si hay suavidad, esquina, cúspide, vertical o salto.

14 · Comprensión

Confusiones frecuentes

15 · Práctica guiada

Ejercicios de aplicación

Ejercicio 1: valor absoluto

Determiná dónde es derivable f(x)=|x−3|.

Ejercicio 2: unión suave

Analizá x² si x<1 y 2x−1 si x≥1.

Ejercicio 3: esquina

Analizá x² si x<1 y x si x≥1.

Ejercicio 4: salto

Analizá x si x<0 y x+1 si x≥0.

Ejercicio 5: parámetros

Elegí a,b para unir ax+b con x² en x=2.

Ejercicio 6: valor absoluto compuesto

Derivá |x²−4| e indicá las excepciones.

Ejercicio 7: ReLU

Estudiá continuidad y derivabilidad de max(0,x) en cero.

Ejercicio 8: segunda derivada

¿La unión suave del ejercicio 2 tiene segunda derivada en 1?

16 · Síntesis

Ideas para recordar

El próximo tema profundiza en segunda, tercera y derivadas de orden superior.