Rectas secantes y pendientes

01 · Dos puntos, una recta

Una representación geométrica del cambio

En el tema anterior calculamos la razón de cambio promedio de una función entre dos entradas. Ese mismo valor tiene una interpretación geométrica precisa. Si marcamos los puntos

sobre el gráfico de f, existe una única recta que pasa por ambos siempre que x₁ ≠ x₂. Esa recta se llama secante porque corta el gráfico en los puntos elegidos.

La secante no intenta reproducir cada curva, oscilación o detalle del intervalo. Conserva dos datos: el valor inicial y el final. Por eso funciona como una representación lineal del cambio neto.

02 · El triángulo de incrementos

Avance horizontal y cambio vertical

Para desplazarnos desde P hasta Q podemos imaginar dos movimientos consecutivos:

Estos movimientos forman los catetos de un triángulo rectángulo. La secante es la línea inclinada que une sus extremos. Su pendiente compara la elevación con el avance:

Si el avance horizontal es el doble y el cambio vertical también es el doble, el cociente permanece igual. Por eso la pendiente describe la dirección de la recta y no el tamaño particular del triángulo que usemos para medirla.

03 · Cálculo de la pendiente

Restar en el mismo orden

Consideremos P = (−1, 2) y Q = (3, 10). Calculamos primero los incrementos:

La recta sube dos unidades por cada unidad que avanzamos hacia la derecha. También podríamos restar en el orden contrario:

Ambos procedimientos dan el mismo resultado. Lo importante es mantener el mismo orden en numerador y denominador.

04 · Dirección e inclinación

Qué revela el valor de m

El valor absoluto |m| cuantifica el cambio vertical por unidad horizontal. Una pendiente −5 representa una variación más intensa que una pendiente −0,5, aunque ambas sean descendentes.

La impresión visual de inclinación depende de la escala elegida para cada eje. Una recta puede parecer muy empinada si comprimimos el eje horizontal o casi plana si comprimimos el vertical. El número m, acompañado por sus unidades, no depende de esa representación visual.

05 · Casos especiales

Rectas horizontales y verticales

Una recta vertical no tiene pendiente numérica porque el cociente requiere dividir por cero. Además, no puede ser el gráfico de una función y = f(x): una misma entrada tendría más de una salida.

Cuando elegimos dos puntos diferentes del gráfico de una función, sus coordenadas x deben ser distintas. De lo contrario no tendríamos dos puntos del gráfico, sino el mismo punto repetido.

06 · Construir la secante

De la pendiente a la ecuación

Conocer la pendiente no basta para identificar una recta: muchas rectas paralelas comparten el mismo valor de m. Necesitamos también un punto. Si la secante pasa por P = (x₁, y₁), usamos la forma punto-pendiente:

Retomemos P = (−1, 2) y m = 2:

Podemos comprobar el resultado sustituyendo ambos puntos: para x = −1 obtenemos y = 2, y para x = 3 obtenemos y = 10.

Forma pendiente-ordenada

Si queremos escribir y = mx + n, calculamos la ordenada al origen mediante:

En el ejemplo, n = 2 − 2(−1) = 4. El parámetro n indica dónde la recta corta el eje vertical.

07 · Secantes sobre funciones

Rectas y curvas se comportan de manera diferente

Si f es lineal, cualquier secante coincide con el propio gráfico. Todos los pares de puntos producen la misma pendiente. En una función curva, cada elección de extremos puede producir una secante diferente.

Para f(x) = x², la secante entre x = 1 y x = 3 tiene pendiente 4 y ecuación y = 4x − 3. Coincide con la curva en los extremos, pero no en los puntos intermedios: por ejemplo, en x = 2 la recta vale 5 mientras la función vale 4.

08 · Aproximación lineal entre datos

Usar la secante para interpolar

Si solo conocemos dos muestras, la secante ofrece una forma sencilla de estimar valores entre ellas. Supongamos que una animación registra la posición 20 px en t = 2 s y 50 px en t = 5 s.

La pendiente es (50 − 20)/(5 − 2) = 10 px/s. La recta secante queda:

Para t = 3,5 s, la estimación es p(3,5) = 35 px. Este procedimiento se llama interpolación lineal.

09 · Mirada computacional

Representar una secante con objetos y funciones

Podemos representar cada punto mediante un objeto y devolver una función que evalúe la recta. La implementación debe rechazar dos puntos con la misma coordenada x:

function crearRectaSecante(p, q) {
  const deltaX = q.x - p.x;
  const deltaY = q.y - p.y;

  if (deltaX === 0) {
    throw new Error("La pendiente no está definida si Δx = 0");
  }

  const pendiente = deltaY / deltaX;
  const ordenada = p.y - pendiente * p.x;

  return {
    pendiente,
    ordenada,
    evaluar: x => pendiente * x + ordenada
  };
}

const secante = crearRectaSecante(
  { x: 1, y: 1 },
  { x: 3, y: 9 }
);

console.log(secante.pendiente); // 4
console.log(secante.ordenada);  // -3
console.log(secante.evaluar(2)); // 5

El valor estimado en x = 2 es 5. Si los puntos proceden de f(x) = x², la función real vale 4; la diferencia muestra que una secante interpola linealmente y no reproduce necesariamente la curva.

Interpolación mediante un parámetro

Otra forma habitual en programación utiliza un parámetro t entre 0 y 1. Con t = 0 obtenemos el primer valor y con t = 1, el segundo.

function interpolar(inicio, fin, t) {
  return inicio + (fin - inicio) * t;
}

console.log(interpolar(20, 50, 0));    // 20
console.log(interpolar(20, 50, 0.5));  // 35
console.log(interpolar(20, 50, 1));    // 50

Esta expresión aparece en animaciones, transiciones, gráficos y procesamiento de datos. El parámetro t indica qué fracción del recorrido lineal se completó.

10 · Exploración interactiva

Laboratorio: construir la secante

Elegí una función, mové el punto inicial y cambiá el ancho del intervalo. El gráfico muestra la curva, los puntos P y Q, el triángulo de incrementos y la recta secante extendida.

Las líneas discontinuas forman el triángulo de incrementos. La recta violeta pasa por P y Q; su pendiente es el cociente entre el lado vertical y el horizontal.

Preguntas para explorar

1. En la función cuadrática, mantené el ancho y desplazá el punto inicial. ¿Cómo cambia la pendiente?
2. En la función lineal, modificá ambos controles. ¿Por qué la secante siempre coincide con la función?
3. Buscá en la función cúbica una secante horizontal. ¿Qué relación tienen las alturas de P y Q?
4. En la función seno, encontrá secantes ascendentes y descendentes.

11 · Cálculo con números reales

Comparar pendientes con tolerancia

En JavaScript, muchos decimales no pueden representarse exactamente. Dos pendientes que matemáticamente deberían ser iguales pueden diferir en una cantidad diminuta. En vez de comparar con ===, podemos usar una tolerancia:

function pendiente(p, q) {
  const deltaX = q.x - p.x;
  if (deltaX === 0) return null;
  return (q.y - p.y) / deltaX;
}

function casiIguales(a, b, tolerancia = 1e-10) {
  return Math.abs(a - b) <= tolerancia;
}

const m1 = pendiente({ x: 0.1, y: 0.2 }, { x: 0.3, y: 0.6 });
const m2 = 2;

console.log(m1);
console.log(casiIguales(m1, m2)); // true

12 · Comprensión

Confusiones frecuentes

13 · Práctica guiada

Ejercicios de aplicación

Ejercicio 1: pendiente entre puntos

Calculá la pendiente de la recta que pasa por P = (2, 7) y Q = (6, −1). Interpretá el signo.

Ejercicio 2: ecuación de una secante

Para f(x) = x² + 2, encontrá la ecuación de la secante entre x = 0 y x = 3.

Ejercicio 3: secante horizontal

Encontrá la pendiente de la secante de f(x) = x² entre x = −2 y x = 2. ¿Qué muestra el resultado?

Ejercicio 4: interpolar

Un sensor registra 18 °C a las 10:00 y 24 °C a las 13:00. Suponiendo un cambio lineal, estimá la temperatura a las 11:30.

Ejercicio 5: completar una función

Completá el cálculo de la ordenada al origen para que el programa construya la ecuación y = mx + n.

function ecuacionRecta(p, q) {
  if (p.x === q.x) return null;

  const m = (q.y - p.y) / (q.x - p.x);
  const n = null; // Reemplazar con el cálculo

  return { m, n };
}

function ecuacionRecta(p, q) {
  if (p.x === q.x) return null;

  const m = (q.y - p.y) / (q.x - p.x);
  const n = p.y - m * p.x;

  return { m, n };
}

console.log(ecuacionRecta(
  { x: 1, y: 1 },
  { x: 3, y: 9 }
)); // { m: 4, n: -3 }

14 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema reduciremos la distancia entre los dos puntos para pasar del cambio promedio al cambio instantáneo, el paso conceptual que conduce a la derivada.