01 · Ver de cerca
Una función derivable parece lineal localmente
Al ampliar una curva suave alrededor de x=a, su gráfica se aproxima a la recta tangente. Esta idea transforma una función posiblemente compleja en un cálculo lineal:
Valor base
El punto conocido desde el que aproximamos.
Sensibilidad local
Cuánto cambia la salida por unidad de entrada.
Desplazamiento
Debe ser suficientemente pequeño para una buena aproximación.
02 · Recta tangente
La linealización en un punto
La función lineal que aproxima a f cerca de a es:
Satisface L(a)=f(a) y L′(a)=f′(a): coincide con la función tanto en valor como en pendiente.
La aproximación es local. Alejarse de a acumula el efecto de la curvatura.
03 · Cambio real y cambio lineal
Δy frente a dy
Si y=f(x) y la entrada cambia en Δx:
Al elegir dx=Δx, el diferencial aproxima el cambio real:
Δy pertenece a la curva; dy, a la recta tangente. No son idénticos salvo para funciones lineales o casos particulares.
04 · Calidad de la aproximación
El error depende de la curvatura
Si existe la segunda derivada, el teorema de Taylor permite expresar:
para algún ξ entre a y a+h. Por tanto, el error lineal suele ser proporcional a h². Reducir h a la mitad reduce aproximadamente el error por un factor de cuatro.
05 · Ejemplo clásico
Aproximar √4,1 sin calculadora
Tomamos f(x)=√x y a=4:
El valor real es aproximadamente 2,0248457; el error es menor que dos diezmilésimas.
06 · Cálculo mental
Potencias cercanas a uno
Para f(x)=xⁿ alrededor de a=1:
Así, 1,02⁵≈1+5(0,02)=1,10. También:
Estas aproximaciones son útiles para estimaciones rápidas y análisis asintótico.
07 · Propagación de errores
Un error de entrada produce un error aproximado de salida
Si una medición x tiene incertidumbre máxima |dx|, entonces:
Para el área de un círculo A=πr²:
Si r=10 cm con error máximo 0,02 cm, el error de área es aproximadamente 0,4π cm².
08 · Errores relativos
Comparar el error con el tamaño de la magnitud
Dividiendo el diferencial por el valor:
El factor κ(x)=|x f′(x)/f(x)| es un número de condición relativo. Indica cuánto puede amplificarse un pequeño error porcentual de entrada.
Para f(x)=xⁿ, κ=|n|: un 1% en x produce aproximadamente |n|% en f.
09 · Varias entradas
El diferencial total
Si z=f(x,y), pequeños cambios en ambas entradas producen:
Para A=xy, dA=y dx+x dy. Cada término mide la contribución de una variable mientras la otra se mantiene fija.
En programación científica, este principio sustenta gradientes, retropropagación y análisis de sensibilidad.
10 · De aproximar a resolver
La linealización conduce al método de Newton
Para buscar una raíz cercana a x₀, reemplazamos la curva por su tangente y calculamos dónde esa recta vale cero:
Repetir el proceso genera el método de Newton. Su rapidez depende de una buena aproximación inicial, de que f′ no sea demasiado pequeña y del comportamiento local de la función.
11 · Exploración interactiva
Laboratorio: curva y aproximación lineal
Elegí una función, el punto base y el incremento. Compará el valor exacto con la estimación de la recta tangente.
Pequeños cambios
f(x)=√x
La tangente aproxima la curva cerca del punto base.
12 · Implementación
Una utilidad de linealización
function linearize(f, df, a) {
const fa = f(a);
const slope = df(a);
return x => fa + slope * (x - a);
}
const sqrtNearFour = linearize(Math.sqrt, x => 1 / (2 * Math.sqrt(x)), 4);
console.log(sqrtNearFour(4.1)); // 2.025Separar f, df y a permite reutilizar el algoritmo y comparar sistemáticamente aproximación y error.
13 · Consideraciones numéricas
Una aproximación útil también necesita controles
function approximationReport(f, df, a, dx) {
const exact = f(a + dx);
const dy = df(a) * dx;
const linear = f(a) + dy;
return { exact, linear, dy, error: Math.abs(exact - linear) };
}Antes de calcular hay que comprobar el dominio de a y a+dx. Cerca de singularidades, una variación pequeña puede causar un gran error.
14 · Comprensión
Confusiones frecuentes
«Δy y dy son exactamente iguales»
Δy es el cambio real; dy es su aproximación lineal.
«La aproximación sirve igual de lejos del punto base»
Es local y suele empeorar al crecer |x−a|.
«Si f′(a)=0, la función no cambia»
Solo indica que el término lineal es cero; pueden dominar términos cuadráticos.
«Un diferencial es solo una notación decorativa»
Representa la aplicación lineal que aproxima el cambio de la función.
«Toda entrada pequeña produce un error pequeño»
Cerca de singularidades o en problemas mal condicionados el cambio puede amplificarse.
15 · Práctica guiada
Ejercicios de aplicación
Ejercicio 1: raíz cuadrada
Aproximá √9,1 alrededor de 9.
Ver solución razonada
f(9)=3, f′(9)=1/6; entonces √9,1≈3+0,1/6=3,01667.
Ejercicio 2: potencia
Aproximá 1,01⁶ linealmente.
Ver solución
(1+h)⁶≈1+6h; con h=0,01 resulta 1,06.
Ejercicio 3: seno
Linealizá sin x alrededor de cero.
Ver solución razonada
L(x)=sin0+cos0·x=x; por eso sin x≈x para ángulos pequeños.
Ejercicio 4: logaritmo
Aproximá ln(1,03).
Ver solución
Alrededor de 1, ln(1+h)≈h; el resultado es 0,03.
Ejercicio 5: error de área
Un círculo tiene r=5±0,01 cm. Estimá el error máximo del área.
Ver solución razonada
|dA|≈2π(5)(0,01)=0,1π cm².
Ejercicio 6: error relativo
Si V=r³, ¿cómo se relacionan los errores relativos?
Ver solución
dV/V≈3dr/r: el error porcentual de volumen triplica aproximadamente al de radio.
Ejercicio 7: linealización exponencial
Hallá la linealización de eˣ en cero.
Ver solución
L(x)=1+x.
Ejercicio 8: paso de Newton
Aplicá un paso de Newton a x²−2=0 desde x₀=1,5.
Ver solución razonada
x₁=1,5−(1,5²−2)/(3)=17/12≈1,41667.
16 · Síntesis
Ideas para recordar
L(x)=f(a)+f′(a)(x−a)es la mejor aproximación lineal local.Δyes el cambio real ydy=f′(x)dxsu aproximación.- Con segunda derivada acotada, el error lineal es del orden de
(Δx)². - Los diferenciales permiten estimar errores absolutos y relativos.
- El número de condición mide la amplificación local del error.
- La linealización conduce naturalmente al método de Newton.
El próximo tema llevará las reglas estudiadas a un derivador simbólico elemental en JavaScript.