Interpretación física: velocidad instantánea

01 · Describir un movimiento

La posición como función del tiempo

Para estudiar un movimiento rectilíneo elegimos un origen, una dirección positiva y una unidad. La función s(t) indica la posición del objeto en el instante t.

Por ejemplo, si s(t) = t² metros, entonces s(0) = 0, s(2) = 4 y s(3) = 9. Estos valores dicen dónde está el objeto, pero todavía no indican qué tan rápido se mueve en cada instante.

La velocidad aparece al comparar cambios de posición con cambios de tiempo. Como el movimiento puede variar, debemos distinguir entre una descripción de todo un intervalo y una descripción local.

02 · Tres cantidades diferentes

Posición, desplazamiento y distancia

Posición

s(t) es la coordenada del objeto respecto de un origen elegido.

Desplazamiento

Δs = s(t₂) − s(t₁) es el cambio neto de posición y puede ser positivo, negativo o cero.

Distancia recorrida

Es la longitud total del trayecto. Siempre es no negativa y cuenta los cambios de dirección.

Intervalo temporal

Δt = t₂ − t₁ mide cuánto tiempo transcurrió entre las observaciones.

Si una persona avanza desde 0 m hasta 10 m y regresa a 4 m, su posición final es 4 m, su desplazamiento es 4 m y la distancia recorrida es 16 m.

03 · Movimiento en un intervalo

Velocidad promedio

Entre los instantes t₁ y t₂, la velocidad promedio es la razón de cambio de la posición:

Para s(t) = t² entre t = 2 s y t = 5 s:

El resultado resume el desplazamiento neto durante los tres segundos. No afirma que el objeto haya mantenido 7 m/s en cada instante.

04 · Movimiento en un instante

Velocidad instantánea como derivada

Fijamos el instante t y calculamos velocidades promedio hasta un instante cercano t + h:

Si el límite existe cuando h → 0, obtenemos la velocidad instantánea:

La notación s′(t) indica que derivamos la posición respecto del tiempo. Su unidad es una unidad de longitud dividida por una unidad de tiempo, por ejemplo m/s.

05 · Cálculo desde la definición

Velocidad para s(t) = t²

Calculemos la velocidad en un instante cualquiera t:

Desarrollamos y simplificamos para h ≠ 0:

Al tomar el límite:

06 · Dirección del movimiento

Qué significa el signo de la velocidad

Una velocidad negativa no significa que el objeto se mueva «más lento» ni que el modelo sea incorrecto. Indica que se desplaza en el sentido opuesto al elegido como positivo.

Si la velocidad cambia de signo alrededor de un instante de reposo, el objeto cambia de dirección. Pero el dato v(t) = 0 aislado no basta para afirmarlo: podría detenerse un instante y continuar en el mismo sentido.

07 · Magnitud sin dirección

Velocidad y rapidez

En un movimiento unidimensional, la rapidez instantánea es el valor absoluto de la velocidad:

De modo análogo, la velocidad promedio utiliza desplazamiento, mientras que la rapidez promedio se relaciona con la distancia total recorrida. Si hay cambios de dirección, esos promedios pueden ser muy diferentes.

08 · Gráfico posición-tiempo

Leer el movimiento desde una curva

En un gráfico de posición respecto del tiempo, la coordenada vertical no representa velocidad: representa posición. La velocidad se lee mediante la pendiente de la tangente.

• Una curva ascendente indica velocidad positiva.
• Una curva descendente indica velocidad negativa.
• Una tangente horizontal indica velocidad cero.
• Una inclinación más pronunciada indica mayor rapidez.
• Una recta representa velocidad constante.

09 · Coherencia dimensional

Las unidades forman parte del modelo

Si s se mide en metros y t en segundos, la velocidad se mide en metros por segundo. Una conversión incorrecta altera el resultado numérico.

Por ejemplo, 20 m/s equivalen a 72 km/h. En un programa conviene almacenar las unidades elegidas en nombres, documentación o tipos específicos, en lugar de confiar en que el número sea autoexplicativo.

const metrosPorSegundoAKilometrosPorHora = velocidad => velocidad * 3.6;
const kilometrosPorHoraAMetrosPorSegundo = velocidad => velocidad / 3.6;

console.log(metrosPorSegundoAKilometrosPorHora(20)); // 72
console.log(kilometrosPorHoraAMetrosPorSegundo(72)); // 20

10 · Exploración interactiva

Laboratorio: posición y velocidad

Elegí un modelo y mové el instante. El gráfico muestra la función de posición, una secante para un intervalo futuro y la tangente que representa la velocidad instantánea. La pista inferior muestra la posición del objeto.

La curva amarilla representa la posición, la recta violeta la velocidad promedio y la coral la velocidad instantánea. El marcador inferior ubica al objeto sobre su recorrido.

Preguntas para explorar

1. En s(t) = t², avanzá el tiempo. ¿Cómo cambia la diferencia entre velocidad promedio e instantánea?
2. En el movimiento uniforme, cambiá el tiempo y el intervalo. ¿Qué valor permanece constante?
3. En el modelo de cambio de sentido, ubicá el instante en t = 3. ¿Qué ocurre con la velocidad?
4. En la oscilación, buscá instantes con igual rapidez pero sentidos opuestos.

11 · Implementación

Modelar el estado de un movimiento

Si conocemos una función de posición y su derivada, podemos construir el estado cinemático en cualquier instante:

function estadoDelMovimiento(posicion, velocidad, tiempo) {
  const s = posicion(tiempo);
  const v = velocidad(tiempo);

  return {
    tiempo,
    posicion: s,
    velocidad: v,
    rapidez: Math.abs(v),
    sentido: v > 0 ? "positivo" : v < 0 ? "negativo" : "reposo"
  };
}

const posicion = t => t ** 2;
const velocidad = t => 2 * t;

console.log(estadoDelMovimiento(posicion, velocidad, 2));

Comparar promedio e instante

function compararVelocidades(posicion, velocidad, t, h) {
  if (h === 0) throw new Error("El intervalo no puede ser cero");

  const promedio = (posicion(t + h) - posicion(t)) / h;

  return {
    intervalo: [t, t + h],
    promedio,
    instantanea: velocidad(t),
    diferencia: Math.abs(promedio - velocidad(t))
  };
}

const s = t => t ** 2;
const v = t => 2 * t;

console.log(compararVelocidades(s, v, 2, 1));
console.log(compararVelocidades(s, v, 2, 0.01));

Al reducir h, la velocidad promedio del segundo ejemplo se acerca a 4 m/s. Aquí usamos la fórmula exacta v(t) = 2t para comparar, no para estimarla numéricamente.

12 · Simulaciones por cuadros

El programa observa intervalos, no instantes

Un motor de animación actualiza la posición en cuadros separados por un intervalo Δt. A partir de dos posiciones registradas solo puede calcular una velocidad promedio:

Con cuadros frecuentes, esta razón puede aproximar bien la velocidad instantánea de un movimiento suave. Sin embargo, reducir Δt aumenta el trabajo computacional y puede hacer más visibles los errores de temporización o punto flotante.

13 · Comprensión

Confusiones frecuentes

14 · Práctica guiada

Ejercicios de aplicación

Ejercicio 1: velocidad promedio

Un objeto tiene posición s(t) = 3t² metros. Calculá su velocidad promedio entre t = 1 s y t = 4 s.

Ejercicio 2: velocidad instantánea

Para s(t) = 3t², usá el cociente incremental para encontrar v(t) y evaluá en t = 4 s.

Ejercicio 3: interpretar el signo

En cierto instante un objeto está en s = 12 m y tiene velocidad −3 m/s. Explicá ambos datos.

Ejercicio 4: desplazamiento y distancia

Un objeto parte de 2 m, avanza hasta 10 m y regresa a 5 m. Calculá el desplazamiento y la distancia.

Ejercicio 5: programar el sentido

Completá la clasificación de la velocidad.

function describirMovimiento(velocidad) {
  if (velocidad > 0) return "sentido positivo";
  if (velocidad < 0) return null; // completar
  return "reposo instantáneo";
}

function describirMovimiento(velocidad) {
  if (velocidad > 0) return "sentido positivo";
  if (velocidad < 0) return "sentido negativo";
  return "reposo instantáneo";
}

console.log(describirMovimiento(4));  // sentido positivo
console.log(describirMovimiento(-2)); // sentido negativo
console.log(describirMovimiento(0));  // reposo instantáneo

15 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos las distintas notaciones de la derivada y aprenderemos a leer correctamente símbolos como f′(x), y′ y dy/dx.