Acercarse sin necesariamente llegar

01 · Punto de partida

Una meta puede guiar el proceso sin aparecer en los pasos

Imaginemos que comenzamos a 1 metro de una pared y, en cada paso, recorremos la mitad de la distancia restante. Después del primer paso faltan 0.5 m; después del segundo, 0.25 m; luego 0.125 m. La pared está cada vez más cerca, aunque cada movimiento finito deja una distancia positiva.

El análisis matemático necesita separar dos ideas que en el lenguaje cotidiano suelen confundirse:

• ¿un valor de la secuencia coincide con el objetivo?
• ¿la distancia al objetivo puede hacerse tan pequeña como necesitemos?
• ¿el acercamiento ocurre desde un lado o alternando lados?
• ¿observar muchos términos basta para conocer todo el proceso?
• ¿cómo reconocemos una secuencia que parece acercarse, pero no lo hace?

02 · Estados ordenados

Una sucesión de aproximaciones

Una sucesión asigna un valor a cada índice natural. Escribimos x₁, x₂, x₃, … o, de forma compacta, (xₙ). El índice n indica la posición del término, no su valor.

La fórmula

produce los términos:

La variable n toma valores enteros positivos y ordena el proceso. Los términos xₙ, en cambio, son números reales. Esta distinción conecta los pasos discretos del tema 6 con una tendencia hacia un valor.

03 · El criterio observable

Mirar la distancia, no solo los valores

Para estudiar si xₙ se acerca a un objetivo L, calculamos:

La dirección desaparece por el valor absoluto. Un término por debajo y otro por encima pueden estar igualmente cerca. Si L=5, los valores 4.9 y 5.1 tienen ambos distancia 0.1.

En la sucesión xₙ=L+1/n, la distancia es:

A medida que n aumenta, 1/n se hace menor. Podemos superar cualquier exigencia de proximidad concreta:

• para quedar a menos de 0.1, alcanza con n>10;
• para quedar a menos de 0.001, necesitamos n>1000;
• para quedar a menos de un radio positivo ε, buscamos n>1/ε.

04 · Dos preguntas diferentes

Acercarse no es lo mismo que alcanzar

Para todo índice finito n, el número 1/n es positivo. Por lo tanto, ningún término de la sucesión 1/n es igual a cero. Sin embargo, sus términos pueden quedar tan cerca de cero como se solicite.

También puede ocurrir lo contrario: una sucesión puede tocar el objetivo alguna vez sin acercarse a él de manera persistente. Consideremos:

El valor 0 aparece infinitas veces, pero la secuencia vuelve siempre a distancia 1. No termina quedándose cerca de 0.

05 · Ejemplo completo

Aproximarse al número 3

Definamos xₙ=3+2/n. Los primeros términos son 5, 4, 3.666…, 3.5 y 3.4. Todos son mayores que 3 y van descendiendo.

Para entrar en un entorno de radio ε resolvemos:

Una vez superado ese índice, todos los términos siguientes permanecen dentro del entorno, porque 2/n continúa disminuyendo.

06 · Desde dónde se aproxima

Acercamiento por izquierda y por derecha

La distancia indica cuán cerca estamos, pero no desde qué lado. El signo de xₙ−L aporta la dirección:

Las tres tienen la misma distancia al objetivo en el paso n, de modo que las tres se acercan a L con el mismo ritmo según esa medida. Sus recorridos, sin embargo, son diferentes.

La aproximación lateral será importante cuando una función se comporte de forma distinta a cada lado de un punto. La sucesión permite elegir entradas cercanas solo por izquierda, solo por derecha o por ambos lados.

07 · Cambiar de lado

Oscilar también puede ser acercarse

La sucesión xₙ=L+(−1)ⁿ/n alterna alrededor de L. Para L=2:

La secuencia no es creciente ni decreciente: salta de un lado al otro. Aun así, la amplitud de los saltos se reduce porque:

Esto muestra que “acercarse” no significa necesariamente moverse en una única dirección ni que cada término sea más grande o más pequeño que el anterior. Lo esencial es que la distancia al objetivo termine siendo pequeña y permanezca pequeña.

08 · Señales engañosas

Procesos que no se acercan

No toda secuencia larga o repetitiva se aproxima a un único valor. Comparar ejemplos ayuda a reconocer qué condición falta:

Que los saltos consecutivos |xₙ₊₁−xₙ| sean pequeños no basta para identificar el objetivo. También debemos observar la distancia respecto del valor candidato y el comportamiento persistente de los términos posteriores.

Un comienzo convincente puede engañar

Una secuencia puede coincidir con 1/n durante el primer millón de pasos y cambiar después. Una tabla finita aporta evidencia y ayuda a formular conjeturas, pero una fórmula o propiedad general es necesaria para justificar todos los pasos futuros.

09 · Conectar con el tema anterior

Entrar y permanecer en cualquier entorno

El lenguaje de entornos permite expresar la aproximación sin depender de una lista particular de tolerancias. Decimos intuitivamente que xₙ se acerca a L si:

Hay dos ideas importantes en la frase:

1. 1
   Cualquier radio positivo.

   No alcanza con entrar en un entorno grande; el criterio debe funcionar también para radios muy pequeños.

2. 2
   Todos los términos posteriores.

   No basta con entrar ocasionalmente. Después de cierto índice, la secuencia no debe volver a salir.

Para xₙ=1/n y un radio ε>0, podemos elegir un entero N>1/ε. Entonces, si n≥N, se cumple 1/n≤1/N<ε. Esta es la intuición que más adelante se convertirá en una definición formal de límite.

10 · Exploración

Laboratorio: observar una aproximación

Elegí una regla, un objetivo y cuántos términos mostrar. El gráfico representa cada término según su índice y marca la línea del objetivo. Compará secuencias laterales, alternadas y una oscilación que no reduce su amplitud.

El eje horizontal representa el índice n y el vertical, el valor del término. La línea dorada marca el objetivo; los puntos violetas son los términos y el punto coral es el último calculado.

Preguntas para explorar

1. Aumentá la cantidad de términos en el modelo por derecha. ¿Cómo cambia la distancia final?
2. Compará los modelos por izquierda y por derecha. ¿Qué conservan y qué cambia?
3. En el modelo alternado, ¿la línea que une los puntos es monótona? ¿La distancia disminuye?
4. Compará la oscilación alternada con la fija. ¿Cuál termina dentro de un entorno de radio 0.5?

11 · Experimentación computacional

Generar y medir aproximaciones en JavaScript

Podemos construir una tabla con cada término y su distancia al objetivo:

function explorarSucesion(regla, objetivo, cantidad) {
  if (!Number.isInteger(cantidad) || cantidad < 1) {
    throw new RangeError("La cantidad debe ser un entero positivo");
  }

  return Array.from({ length: cantidad }, (_, indice) => {
    const n = indice + 1;
    const valor = regla(n);
    return {
      n,
      valor,
      distancia: Math.abs(valor - objetivo)
    };
  });
}

const objetivo = 3;
const datos = explorarSucesion(n => objetivo + 2 / n, objetivo, 8);
console.log(datos);

Buscar el primer término dentro de una tolerancia

function primerTerminoCercano(regla, objetivo, tolerancia, maximo) {
  if (tolerancia <= 0) {
    throw new RangeError("La tolerancia debe ser positiva");
  }

  for (let n = 1; n <= maximo; n += 1) {
    const valor = regla(n);
    if (Math.abs(valor - objetivo) < tolerancia) {
      return { n, valor };
    }
  }
  return null;
}

const resultado = primerTerminoCercano(n => 3 + 2 / n, 3, 0.03, 10_000);
console.log(resultado); // { n: 67, valor: ... }

Encontrar el primer término cercano demuestra que la secuencia entró una vez. Para estudiar aproximación también hay que justificar que los términos posteriores permanecen dentro. En 3+2/n esto ocurre porque la distancia 2/n disminuye.

12 · Comprensión

Confusiones frecuentes

13 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: distancia al objetivo

Para xₙ=5−3/n, calculá los términos con n=1,10,100, sus distancias a 5 y el lado desde el cual se aproximan.

Ejercicio 2: entrar en un entorno

¿A partir de qué índice la sucesión xₙ=2+4/n queda dentro de E(2,0.05)?

Ejercicio 3: oscilación

Compará aₙ=(−1)ⁿ y bₙ=(−1)ⁿ/n respecto del objetivo 0.

Ejercicio 4: explorar con código

Generá los primeros 12 términos de xₙ=10+1/2ⁿ y encontrá el primero cuya distancia a 10 sea menor que 0.001.

const objetivo = 10;
const terminos = Array.from({ length: 12 }, (_, indice) => {
  const n = indice + 1;
  const valor = objetivo + 1 / (2 ** n);
  return { n, valor, distancia: Math.abs(valor - objetivo) };
});

const primero = terminos.find(dato => dato.distancia < 0.001);
console.log(primero);
// n = 10, porque 1/1024 ≈ 0.0009766

14 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos la idea matemática de infinito: cómo describir procesos que continúan sin límite sin tratar al infinito como si fuera un número real ordinario.