La idea intuitiva de límite

01 · Punto de partida

Cuando reemplazar no alcanza

Para conocer el valor de una función solemos reemplazar la variable por un número. Si f(x) = x + 1, entonces f(3) = 4. Sin embargo, hay expresiones para las que una sustitución directa produce una operación inválida y aun así los valores cercanos muestran un comportamiento perfectamente reconocible.

Consideremos esta función:

Al reemplazar x por 1 obtenemos 0/0, que no está definido. Pero si usamos valores próximos a 1, sin usar exactamente 1, aparece una tendencia:

Cuanto más se acerca x a 1, más se acerca f(x) a 2. El límite permite expresar precisamente esa observación.

02 · Concepto central

Acercarse sin necesidad de llegar

Decimos intuitivamente que el límite de f(x), cuando x se acerca a a, es L si podemos conseguir que f(x) esté tan cerca de L como deseemos eligiendo valores de x suficientemente cercanos a a.

Esta expresión se lee: «el límite de f(x) cuando x tiende a a es L». La flecha no indica una asignación como en un programa. Describe un proceso de aproximación.

En el ejemplo inicial, x es la entrada, a = 1 es el punto que estudiamos y L = 2 es la tendencia observada. Por eso escribimos:

03 · Dos aproximaciones relacionadas

La entrada se acerca y la salida responde

En un límite intervienen dos proximidades al mismo tiempo:

La relación importante no es simplemente «usar números pequeños». Lo que debe hacerse pequeño es el error respecto del punto de referencia. Cerca de a = 1000, por ejemplo, x = 999.999 es un valor cercano aunque no sea pequeño.

04 · Distinción fundamental

El valor de la función y el límite no son lo mismo

La expresión f(a) pregunta qué valor asigna la función exactamente en a. En cambio, lim f(x) cuando x → a pregunta qué ocurre alrededor de a. Son preguntas diferentes y sus respuestas pueden coincidir o no.

Un punto aislado no cambia la tendencia

Imaginemos una función que se comporta como x + 1 cerca de x = 2, pero a la que se le asigna especialmente f(2) = 10. Los valores vecinos se aproximan a 3, de modo que el límite es 3, aunque el valor de la función sea 10.

Esto no es una contradicción. El valor puntual informa qué sucede exactamente en x = 2; el límite ignora ese dato aislado y estudia los valores vecinos.

05 · Alrededor del punto

Podemos acercarnos desde dos direcciones

En la recta numérica podemos aproximarnos a a usando valores menores o mayores:

• Desde la izquierda: valores menores que a, cada vez más próximos.
• Desde la derecha: valores mayores que a, cada vez más próximos.

Para a = 1, una aproximación por la izquierda podría usar 0.9, 0.99 y 0.999. Por la derecha podría usar 1.1, 1.01 y 1.001.

Si ambos recorridos conducen a la misma salida, tenemos evidencia de una única tendencia. Si conducen a valores diferentes, no podemos hablar de un solo límite en el punto. En el tema dedicado a límites laterales formalizaremos esta comparación y su notación.

06 · Mirada computacional

¿Por qué le sirven los límites a un programador?

Los límites conectan modelos continuos con cálculos ejecutados en pasos finitos. La computadora nunca realiza infinitas aproximaciones, pero puede generar valores cada vez más cercanos y estudiar si sus resultados se estabilizan.

Gráficos y animaciones

Permiten razonar sobre el comportamiento de un modelo entre instantes representados mediante cuadros discretos.

Simulaciones

Ayudan a estudiar qué resultado parece alcanzar un proceso cuando reducimos el tamaño de sus pasos.

Funciones con casos especiales

Separan el comportamiento cercano de errores como una división por cero o de un valor puntual excepcional.

Estabilidad de algoritmos

Permiten observar si una salida se aproxima a un valor o si pequeñas variaciones de entrada producen comportamientos incompatibles.

Más adelante estas ideas serán la base de las derivadas, las integrales y diversos métodos computacionales. En este curso nos concentraremos en comprender y calcular los límites mismos.

07 · Exploración interactiva

Laboratorio: acercarse a un punto

Elegí un modelo y reducí la distancia h. El laboratorio evalúa la función en a − h y a + h, sin utilizar el punto a. Observá cómo responden los dos valores.

Los puntos violeta y coral representan evaluaciones a la misma distancia del punto estudiado. El círculo vacío indica que el comportamiento cercano puede analizarse aunque la expresión no tenga valor allí.

Preguntas para explorar

1. Reducí h en el modelo con hueco. ¿Cuántos decimales comienzan a coincidir con 2?
2. Elegí el modelo cuadrático. ¿A qué valor se acercan las salidas cuando x se aproxima a 2?
3. En «valor aislado diferente», compará el límite sugerido con el valor exacto f(2) = 10. ¿Por qué no coinciden?
4. ¿Qué cambia en el gráfico y en los resultados cuando la distancia pasa de 0.1 a 0.000001?

08 · Implementación

Aproximar un límite con JavaScript

Podemos generar pares de puntos simétricos alrededor de a. El siguiente programa no «demuestra» el límite, pero ofrece evidencia numérica y hace visible la tendencia:

function explorarLimite(funcion, a, niveles = 6) {
  const aproximaciones = [];

  for (let n = 1; n <= niveles; n++) {
    const h = 10 ** -n;
    aproximaciones.push({
      h,
      izquierda: funcion(a - h),
      derecha: funcion(a + h)
    });
  }

  return aproximaciones;
}

const funcionConHueco = x => (x ** 2 - 1) / (x - 1);
console.log(explorarLimite(funcionConHueco, 1));

En cada iteración, h es diez veces menor. Las entradas a - h y a + h se acercan a a desde direcciones opuestas. La función nunca se evalúa exactamente en a.

Una estimación simple

Si los valores de ambos lados son cercanos, su promedio puede servir como estimación experimental. También debemos informar cuánto difieren, porque esa diferencia aporta una medida básica de la estabilidad observada.

function estimarLimite(funcion, a, h = 1e-5) {
  if (h <= 0) throw new Error("h debe ser positivo");

  const izquierda = funcion(a - h);
  const derecha = funcion(a + h);

  return {
    estimacion: (izquierda + derecha) / 2,
    diferenciaEntreLados: Math.abs(derecha - izquierda)
  };
}

const f = x => (x ** 2 - 1) / (x - 1);
console.log(estimarLimite(f, 1));

09 · Alcance de la experimentación

Observar no es lo mismo que demostrar

Una tabla o un programa examina una cantidad finita de puntos. Puede sugerir fuertemente un límite, pero no garantiza por sí solo qué sucede para todos los valores suficientemente próximos. Una función podría comportarse de manera inesperada entre las muestras.

Además, hacer h cada vez menor no siempre mejora indefinidamente el resultado. JavaScript representa la mayoría de los números con punto flotante. Si h es demasiado pequeño, el redondeo puede hacer que a + h se almacene como si fuera exactamente a.

const a = 1;
const h = 1e-20;

console.log(a + h === a); // true
console.log((a + h) - a); // 0

Por eso combinaremos tres fuentes de información: transformaciones algebraicas, interpretación gráfica y aproximaciones numéricas. Cada una permite comprobar y comprender aspectos diferentes.

10 · Comprensión

Confusiones frecuentes

11 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: identificar los elementos

En la expresión lim(x → 3) f(x) = 7, indicá qué representan x, 3 y 7. Luego explicá la expresión con palabras.

Ejercicio 2: separar valor y límite

Una función cumple g(x) = 2x para todo x ≠ 4, pero se define g(4) = 100.

1. ¿Cuánto vale g(4)?
2. ¿A qué valor se acerca g(x) cuando x se aproxima a 4?
3. ¿Por qué las respuestas son diferentes?

Ejercicio 3: completar una exploración

Para f(x) = (x² − 4)/(x − 2), calculá la función en 1.9, 1.99, 2.01 y 2.1. Proponé un valor para el límite cuando x → 2.

const f = x => (x ** 2 - 4) / (x - 2);
const entradas = [1.9, 1.99, 2.01, 2.1];

for (const x of entradas) {
  console.log(`f(${x}) = ${f(x)}`);
}

Ejercicio 4: pensar como programador

El siguiente código evalúa una función solamente en a + h. Indicá dos motivos por los que la conclusión podría ser poco confiable.

const posibleLimite = (funcion, a) => funcion(a + 0.001);

const f = x => (x ** 2 - 4) / (x - 2);
const resultado = posibleLimite(f, 2);

console.log("Aproximación obtenida:", resultado);

12 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema construiremos tablas y gráficos de aproximación. Aprenderemos a elegir muestras útiles, leer tendencias y evitar conclusiones engañosas.