Límites infinitos

01 · Más allá de todo umbral

Cuando las salidas no se acercan a un número

Un límite infinito describe una función cuya magnitud aumenta sin cota cuando la entrada se aproxima a un punto. Por ejemplo:

Esto significa que podemos lograr valores de 1/x mayores que cualquier umbral positivo eligiendo x positivo y suficientemente cercano a cero.

02 · Dos direcciones verticales

Infinito positivo e infinito negativo

Decir f(x) → −∞ no significa que la función «se acerque a un número negativo enorme». Significa que continúa decreciendo sin una cota inferior.

03 · El signo depende del lado

Analizar 1/x alrededor de cero

Para f(x) = 1/x, el denominador es negativo a la izquierda de cero y positivo a la derecha:

Los dos lados crecen en magnitud, pero con signos opuestos. Por eso no escribimos un único límite bilateral igual a ∞. Debemos conservar la información lateral.

04 · Potencias del denominador

La paridad cambia el comportamiento

Comparemos 1/x con 1/x². Como x² es positivo a ambos lados de cero:

En este caso podemos resumir:

Para una potencia de x − a:

Un coeficiente negativo delante de la fracción invierte los signos. Por ejemplo, −1/x² → −∞ desde ambos lados.

05 · El punto puede cambiar

Trasladar el análisis a x = a

La función 2/(x − 3) tiene el mismo patrón que 1/x, desplazado al punto 3 y multiplicado por 2:

Si usamos 2/(3 − x), observamos que 3 − x = −(x − 3), por lo que los signos se invierten:

Reescribir todos los factores en una orientación común reduce errores de signo.

06 · Numerador no nulo

Analizar cocientes más generales

Consideremos f(x) = p(x)/q(x) cerca de x = a. Si:

• p(x) se aproxima a un número distinto de cero;
• q(x) se aproxima a cero;

la magnitud del cociente suele crecer sin cota. El signo se determina combinando los signos del numerador y el denominador en cada lado.

Ejemplo:

El numerador se aproxima a 3, que es positivo. El denominador es positivo y se aproxima a cero desde ambos lados. Por tanto:

07 · Método confiable

Construir una tabla de signos

Analicemos:

Los factores x + 1 y x + 3 son positivos cerca de 2. Solo x − 2 cambia de signo.

08 · Un único lado

Límites infinitos en fronteras del dominio

La función 1/√x solo está definida para x > 0. Cuando x → 0⁺, el denominador es positivo y se acerca a cero:

No hay un límite izquierdo real. De manera semejante:

En el primer caso, la salida crece porque dividimos por números positivos cada vez menores. En el segundo, el logaritmo disminuye sin cota por su propio comportamiento en la frontera del dominio.

09 · Aritmética con cautela

El infinito no sigue todas las reglas de los números

Algunas combinaciones describen claramente una tendencia:

• Una constante positiva multiplicada por +∞ conserva el signo.
• Una constante negativa multiplicada por +∞ produce −∞.
• Sumar una constante finita no detiene un crecimiento sin cota.

Otras combinaciones no determinan un resultado:

Estas son formas indeterminadas. Dos expresiones con la misma forma pueden tener comportamientos diferentes. Se estudiarán en un tema posterior.

10 · Diagnóstico

Procedimiento para un límite infinito

1. 1
   Localizar el factor que tiende a cero.

   Identificar denominadores o fronteras de dominio.

2. 2
   Comprobar el numerador.

   Determinar si tiende a un valor no nulo y registrar su signo.

3. 3
   Factorizar si es necesario.

   Hacer visibles los factores que cambian de signo.

4. 4
   Separar los lados.

   Construir una tabla de signos para x < a y x > a.

5. 5
   Combinar magnitud y signo.

   Decidir entre +∞ y −∞ en cada dirección.

6. 6
   Escribir la conclusión completa.

   No ocultar diferencias entre los límites laterales.

11 · Exploración interactiva

Laboratorio: magnitud y signo

Elegí un modelo y reducí la distancia h. El gráfico recorta las salidas para mantenerlas visibles, mientras las tarjetas muestran los valores numéricos reales.

La franja visible está limitada verticalmente. Cuando la curva sale de ella, significa que su magnitud real supera la escala del gráfico.

Preguntas para explorar

1. ¿Qué cambia entre 1/x y 1/x²?
2. ¿Cómo modifica el signo exterior al modelo −1/x²?
3. ¿Qué modelos solo pueden aproximarse desde la derecha?
4. ¿Por qué el recorte del gráfico no limita los valores reales mostrados?

12 · Implementación

Detectar crecimiento en muestras finitas

Un programa puede reunir evidencia de que la magnitud aumenta al reducir h:

function explorarCrecimiento(funcion, a, direccion, niveles = 6) {
  const signo = direccion === "izquierda" ? -1 : 1;
  const muestras = [];

  for (let n = 1; n <= niveles; n++) {
    const h = 10 ** -n;
    const x = a + signo * h;
    muestras.push({ h, x, y: funcion(x) });
  }
  return muestras;
}

const reciproca = x => 1 / x;
console.log(explorarCrecimiento(reciproca, 0, "izquierda"));
console.log(explorarCrecimiento(reciproca, 0, "derecha"));

No confundir límite con desbordamiento

JavaScript devuelve Infinity si una operación excede el mayor número representable o si divide un número no nulo por cero:

console.log(1 / 0);             // Infinity
console.log(Number.MAX_VALUE * 2); // Infinity

const x = 1e-200;
console.log(1 / x ** 2);        // Infinity por desbordamiento
console.log(Number.isFinite(1 / x ** 2)); // false

Un límite infinito es una afirmación sobre una tendencia matemática. Un valor Infinity del lenguaje puede surgir por una sola operación y no constituye una demostración.

Clasificar el signo sin evaluar en el punto

function signo(valor) {
  if (valor > 0) return "+";
  if (valor < 0) return "−";
  return "0";
}

const f = x => (x + 1) / ((x - 2) * (x + 3));
const h = 1e-6;

console.log("Signo izquierdo:", signo(f(2 - h)));
console.log("Signo derecho:", signo(f(2 + h)));

13 · Comprensión

Confusiones frecuentes

14 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: lados opuestos

Determiná los límites laterales de 3/(x − 2) cuando x → 2.

Ejercicio 2: potencia par

Calculá lim(x → −1) 5/(x + 1)².

Ejercicio 3: signo exterior

Calculá lim(x → 4) −2/(x − 4)².

Ejercicio 4: tabla de signos

Determiná los límites laterales de (x − 1)/[(x − 3)(x + 2)] cerca de x = 3.

Ejercicio 5: frontera con raíz

Calculá lim(x → 2⁺) 1/√(x − 2).

Ejercicio 6: implementación

Generá valores de −1/(x − 1)² a ambos lados de x = 1.

const f = x => -1 / (x - 1) ** 2;

for (const h of [0.1, 0.01, 0.001]) {
  console.log({
    h,
    izquierda: f(1 - h),
    derecha: f(1 + h)
  });
}

15 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema relacionaremos los límites infinitos con las asíntotas verticales y su representación gráfica.