Asíntotas horizontales y oblicuas

01 · Interpretación

Una recta que aproxima a la función

Una recta es una asíntota de una función en una cola si la distancia vertical entre la función y la recta tiende a cero cuando x → +∞ o x → −∞.

Según la pendiente m, distinguimos:

• Asíntota horizontal: m = 0, por lo que la recta es y = b.
• Asíntota oblicua: m ≠ 0, por lo que la recta sube o baja.

02 · Asíntota horizontal

Un límite finito produce una recta horizontal

La recta y = L es una asíntota horizontal si se cumple al menos uno de estos límites:

Por ejemplo:

Como el denominador tiene mayor grado:

Entonces y = 0 es una asíntota horizontal en las dos colas.

03 · Dirección

Cada cola puede tener su propia asíntota

Los límites hacia +∞ y −∞ se estudian por separado. La función:

tiene comportamientos distintos:

Por tanto, y = 1 es la asíntota horizontal de la cola derecha y y = −1 la de la cola izquierda.

Una función puede tener como máximo una asíntota horizontal en cada dirección, porque un límite no puede tomar dos valores finitos diferentes en la misma cola.

04 · Cocientes de polinomios

Reconocer horizontales comparando grados

Para R(x) = P(x)/Q(x), los resultados del tema anterior se traducen directamente:

Ejemplo:

La recta y = −2 es la asíntota horizontal en ambas colas.

05 · Un mito gráfico

La función puede cruzar una asíntota horizontal

Una asíntota horizontal describe el comportamiento lejano; no es una barrera. Consideremos:

Como los grados son iguales, su asíntota horizontal es y = 1. Para encontrar un cruce resolvemos:

La curva cruza la asíntota en (1, 1) y, aun así, se aproxima a ella en las dos colas. Incluso puede cruzarla infinitas veces, como ocurre con sen(x)/x y la recta y = 0.

06 · Asíntota oblicua

La función sigue una recta inclinada

La recta y = mx + b, con m ≠ 0, es una asíntota oblicua si:

Para:

la división polinómica produce:

Como el residuo 2/(x − 1) tiende a cero, la recta y = x + 1 es una asíntota oblicua en ambas colas.

07 · Funciones racionales

Usar la división polinómica

Una función racional puede tener una asíntota oblicua cuando el grado del numerador supera en exactamente una unidad al del denominador:

Al dividir:

El residuo tiene menor grado que el denominador, por lo que R(x)/Q(x) → 0. El cociente lineal mx + b es la asíntota.

Ejemplo:

La asíntota oblicua es y = −2x + 5.

08 · Método mediante límites

Calcular la pendiente y la ordenada

Cuando no resulta evidente una división, podemos buscar los parámetros de la recta. Si existen los límites apropiados:

Para f(x) = √(4x² + x) cuando x → +∞:

Luego racionalizamos para calcular b:

En la cola derecha, la recta buscada es y = 2x + 1/4. La cola izquierda debe analizarse por separado porque √(x²) = |x|.

09 · Prueba necesaria

Verificar que el error tiende a cero

Encontrar valores candidatos para m y b no completa el trabajo. Debemos comprobar:

Para la función del ejemplo racional:

El error tiende a cero en las dos colas. Además, su signo indica desde qué lado se aproxima la curva:

• si e(x) > 0, la función está sobre la recta;
• si e(x) < 0, la función está debajo;
• si cambia de signo, la función cruza la recta.

10 · Panorama racional

El grado indica qué tendencia buscar

Cuando d > 1, la división puede revelar una tendencia polinómica, pero no una recta horizontal u oblicua.

11 · Representación computacional

Dibujar la recta y medir el error

Superponer la función y la recta ayuda a interpretar el resultado, pero una escala amplia puede hacerlas parecer idénticas aunque el error no tienda a cero. Conviene acompañar el gráfico con una segunda vista de:

En una escala logarítmica, un error que disminuye por potencias de diez produce una trayectoria descendente clara.

También debemos evitar restar directamente dos números enormes y casi iguales. Si la división produjo f(x) = mx + b + R(x)/Q(x), es más estable calcular el error como R(x)/Q(x).

12 · Exploración interactiva

Laboratorio: medir la distancia a la recta

Elegí una función y aumentá k. El laboratorio compara f(±10ᵏ) con la recta candidata y grafica el logaritmo del error absoluto.

Un valor más bajo en el gráfico significa un error menor. Violeta representa la cola negativa y naranja la positiva.

Preguntas para explorar

1. ¿Qué modelos reducen el error aproximadamente por un factor de diez en cada paso?
2. ¿Por qué una misma función puede mostrar dos rectas horizontales?
3. ¿Qué información aporta el residuo de una división polinómica?
4. ¿Cómo se distingue el modelo sin asíntota lineal en el gráfico del error?

13 · Implementación

Representar una recta candidata

Una función para la recta y otra para el error mantienen explícita la definición:

function crearRecta(m, b) {
  return x => m * x + b;
}

function errorAsintotico(funcion, recta, x) {
  return funcion(x) - recta(x);
}

const f = x => x + 1 + 2 / (x - 1);
const recta = crearRecta(1, 1);

console.log(errorAsintotico(f, recta, 1000));

Explorar ambas colas

function medirColas(funcion, recta, maxExponente = 5) {
  const datos = [];
  for (let k = 1; k <= maxExponente; k++) {
    const x = 10 ** k;
    datos.push({
      k,
      errorIzquierdo: funcion(-x) - recta(-x),
      errorDerecho: funcion(x) - recta(x)
    });
  }
  return datos;
}

console.log(medirColas(f, recta));

Evitar cancelación al calcular el error

// f(x) = -2x + 5 - 7/(x + 2)
const funcion = x => -2 * x + 5 - 7 / (x + 2);
const tendencia = x => -2 * x + 5;
const errorEstable = x => -7 / (x + 2);

const x = 1e8;
console.log({
  porResta: funcion(x) - tendencia(x),
  porResiduo: errorEstable(x)
});

Para entradas muy grandes, la resta puede perder precisión; la expresión del residuo conserva directamente la cantidad pequeña.

14 · Comprensión

Confusiones frecuentes

15 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: horizontal en cero

Encontrá las asíntotas horizontales de (3x − 1)/(x² + 2).

Ejercicio 2: cociente principal

Encontrá la asíntota horizontal de (−8x⁴ + x)/(2x⁴ + 3).

Ejercicio 3: división polinómica

Encontrá la asíntota oblicua de (x² + 3x + 5)/(x + 1).

Ejercicio 4: pendiente negativa

Encontrá la asíntota oblicua de (−2x² + x + 3)/(x + 2).

Ejercicio 5: ¿existe una recta?

Clasificá la tendencia de (x⁴ + 1)/(x² + 1).

Ejercicio 6: pensar como programador

Explicá por qué comparar solamente f(1e6) con una recta no alcanza para confirmar una asíntota.

const f = x => x + Math.sin(x);
const candidata = x => x;
const x = 1e6;

console.log(f(x) - candidata(x));

16 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos otras formas indeterminadas y las transformaciones que permiten analizarlas.