Límites laterales

01 · Un punto, dos recorridos

No siempre da lo mismo desde dónde nos acercamos

Para estudiar un límite alrededor de x = a usamos valores cercanos al punto. En la recta real existen dos formas de aproximarse: mediante valores menores que a o mediante valores mayores.

Consideremos una función definida por partes:

Al acercarnos a 0 con valores negativos, todas las salidas valen −1. Al acercarnos con valores positivos, valen 1. Los dos recorridos llegan a tendencias diferentes.

02 · La recta numérica

Izquierda significa menor; derecha significa mayor

Las palabras izquierda y derecha se refieren a la posición de las entradas en el eje horizontal, no a si las salidas aumentan o disminuyen. Una función puede acercarse desde la izquierda y producir valores crecientes, decrecientes o constantes.

03 · Lenguaje simbólico

Notación de los límites laterales

Agregamos un signo pequeño al punto de aproximación para indicar la dirección:

Los signos − y + no indican que a sea negativo o positivo. Tampoco describen el signo de la salida. Funcionan como marcas de dirección.

04 · Evidencia numérica

Organizar una tabla por direcciones

Separar las muestras evita mezclar comportamientos diferentes. Para la función de salto del primer ejemplo obtenemos:

La columna izquierda muestra una tendencia a −1 y la derecha, a 1. Por lo tanto:

El valor f(0) = 1 pertenece a la definición puntual, pero no modifica ninguna de estas dos tendencias.

05 · Comparar resultados

Cuándo los dos lados cuentan la misma historia

Si ambos límites laterales existen y son iguales, podemos reunirlos en un único límite bilateral:

Por ejemplo, para f(x) = x² cerca de x = 2, las entradas menores y mayores que 2 producen salidas que se acercan a 4. Las direcciones son distintas, pero la tendencia es la misma.

Si los límites laterales son diferentes, no existe un único límite bilateral. Aun así, cada límite lateral conserva su valor y describe correctamente su parte del comportamiento.

06 · Elegir la fórmula correcta

Límites laterales en funciones por partes

Cuando una función utiliza fórmulas diferentes en distintos intervalos, la dirección determina qué fórmula debemos analizar. Consideremos:

Para acercarnos a 1 desde la izquierda usamos x + 1, porque las entradas son menores que 1. La tendencia es 2. Desde la derecha usamos 2x + 3, cuya tendencia es 5.

1. 1
   Identificar la dirección.

   Determinar si las entradas son menores o mayores que el punto.

2. 2
   Elegir la rama.

   Usar la condición que corresponde a esos valores cercanos.

3. 3
   Analizar la tendencia.

   Estudiar la fórmula seleccionada al acercarse al punto.

4. 4
   Comparar los lados.

   Decidir si las dos tendencias coinciden.

07 · Fronteras del dominio

A veces solo hay un lado disponible

La función f(x) = √x, considerada sobre los números reales, está definida para x ≥ 0. Cerca de x = 0 podemos usar entradas positivas, pero no entradas negativas.

No corresponde exigir un acercamiento por la izquierda dentro del dominio real, porque allí la función no tiene valores. En un extremo del dominio, un límite lateral puede ser toda la información disponible.

Este caso aparece con frecuencia en programación: tiempo transcurrido no negativo, cantidad de elementos, tamaños, probabilidades o distancias. El dominio del modelo determina qué recorridos tienen sentido.

08 · Exploración interactiva

Laboratorio: recorrer cada lado por separado

Elegí un modelo y reducí la distancia h. Los puntos violeta y coral muestran evaluaciones a la izquierda y a la derecha del punto.

La línea vertical punteada marca el punto estudiado. El punto violeta se aproxima desde valores menores y el coral desde valores mayores.

Preguntas para explorar

1. En el salto, reducí h. ¿La diferencia entre las salidas desaparece?
2. En el modelo continuo, ¿desde qué valores se aproxima cada lado a 4?
3. En la función por partes, identificá qué fórmula produce cada rama.
4. En el extremo del dominio, ¿por qué no aparece un resultado desde la izquierda?

09 · Implementación

Generar aproximaciones laterales con JavaScript

Una función puede recibir la dirección como dato y validar que sea "izquierda" o "derecha":

function aproximarLateral(funcion, a, direccion, niveles = 5) {
  if (!["izquierda", "derecha"].includes(direccion)) {
    throw new Error("Dirección no válida");
  }

  const signo = direccion === "izquierda" ? -1 : 1;
  const muestras = [];

  for (let n = 1; n <= niveles; n++) {
    const h = 10 ** -n;
    const x = a + signo * h;
    muestras.push({ x, y: funcion(x) });
  }
  return muestras;
}

const salto = x => x < 0 ? -1 : 1;
console.log("Izquierda:", aproximarLateral(salto, 0, "izquierda"));
console.log("Derecha:", aproximarLateral(salto, 0, "derecha"));

Comparar las últimas aproximaciones

Podemos construir una comprobación experimental con una tolerancia. Sigue siendo una exploración finita, no una demostración:

function compararLados(funcion, a, h = 1e-5, tolerancia = 1e-4) {
  const izquierda = funcion(a - h);
  const derecha = funcion(a + h);
  const diferencia = Math.abs(izquierda - derecha);

  return {
    izquierda,
    derecha,
    diferencia,
    coincidenAproximadamente: diferencia <= tolerancia
  };
}

const continua = x => x ** 2;
const salto = x => x < 0 ? -1 : 1;

console.log("x² cerca de 2:", compararLados(continua, 2));
console.log("Salto cerca de 0:", compararLados(salto, 0));

10 · Comprensión

Confusiones frecuentes

11 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: interpretar la notación

Explicá con palabras qué significan lim(x → 3⁻) f(x) = 8 y lim(x → 3⁺) f(x) = 5.

Ejercicio 2: analizar una función por partes

Sea g(x) = 2x + 1 si x < 2 y g(x) = x + 4 si x ≥ 2. Calculá las tendencias laterales cerca de x = 2.

Ejercicio 3: lograr que coincidan

Sea h(x) = kx si x < 1 y h(x) = x + 2 si x ≥ 1. ¿Qué valor debe tener k para que las dos tendencias laterales coincidan en x = 1?

Ejercicio 4: implementar una función por partes

Representá en JavaScript la función del ejercicio 2 y obtené una muestra desde cada lado.

function g(x) {
  return x < 2 ? 2 * x + 1 : x + 4;
}

const h = 0.001;
console.log("Desde la izquierda:", g(2 - h));
console.log("Desde la derecha:", g(2 + h));

Ejercicio 5: reconocer el dominio

¿Qué límite lateral usarías para estudiar √(5 − x) cerca de x = 5 dentro de los números reales? Justificá la respuesta.

12 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema profundizaremos el criterio de existencia de un límite y clasificaremos las situaciones en las que una tendencia única no puede establecerse.