20. Interés compuesto y capitalización de intereses

20.1 Qué significa capitalizar

Capitalizar significa agregar el interés generado al capital que servirá como base en el período siguiente. La cantidad acumulada deja de ser solo un resultado final: pasa a participar en el próximo cálculo.

20.2 La base cambia

En el interés simple, la base permanece igual al capital inicial. En el compuesto, la base del período k es el monto alcanzado al terminar el período anterior.

20.3 El primer período

Con un capital de $100.000 y una tasa de 5 % por período, convertimos 5 % a 0,05:

Los $105.000 se convierten en la base siguiente.

20.4 El segundo período

La tasa vuelve a ser 5 %, pero ahora se aplica sobre $105.000:

El interés del segundo período supera en $250 al primero porque la base incluye los $5.000 ya capitalizados.

20.5 Interés sobre interés

La expresión “interés sobre interés” describe el efecto de aplicar la tasa a una base que ya contiene intereses anteriores. No se calcula una tasa especial: cambia la cantidad monetaria sobre la que actúa la misma tasa.

20.6 Una regla recurrente

Podemos describir cada paso utilizando el monto anterior:

Esta recurrencia explica el mecanismo sin necesitar todavía una fórmula cerrada con potencias.

20.7 Los incrementos dejan de ser constantes

Si la tasa es positiva y no hay retiros, cada nueva base es mayor. Por eso los intereses monetarios de los períodos también aumentan:

El crecimiento ya no es lineal porque la diferencia entre montos consecutivos cambia.

20.8 Comparación conceptual con interés simple

La elección del modelo depende de las condiciones de la operación, no de cuál produzca el resultado preferido.

20.9 Supuestos básicos

• La tasa corresponde a cada período del cálculo.
• La tasa permanece constante en el ejemplo elemental.
• Los intereses se incorporan por completo al final de cada período.
• No existen aportes, pagos ni retiros intermedios.
• Todos los períodos siguen la misma regla.
• No se incluyen impuestos, comisiones ni otros cargos.

Modificar estos supuestos requiere adaptar la secuencia de cálculo.

20.10 El momento de capitalización importa

Decir “5 %” no basta: necesitamos saber a qué período corresponde y cuándo se agrega el interés a la base. En los ejemplos, la capitalización ocurre al final de cada período completo.

La unidad se conserva: una tasa mensual se aplica en pasos mensuales. La conversión entre tasas de diferentes períodos se estudiará en otro curso.

20.11 Operaciones sin movimientos intermedios

La recurrencia elemental supone que nada entra ni sale entre el comienzo y el final. Si aparece un aporte o un retiro, debemos ubicarlo en la línea de tiempo y establecer si ocurre antes o después de calcular el interés del período.

El orden de esas acciones cambia la base y, por lo tanto, los resultados siguientes.

20.12 Implementar un paso con JavaScript

function capitalizarUnPeriodo(base, tasaDecimal) {
  const interes = base * tasaDecimal;
  const monto = base + interes;

  return { base, interes, monto };
}

const paso1 = capitalizarUnPeriodo(100000, 0.05);
const paso2 = capitalizarUnPeriodo(paso1.monto, 0.05);

console.log(paso1.monto); // 105000
console.log(paso2.monto); // 110250

La salida de un paso se convierte explícitamente en la entrada del siguiente.

20.13 Simulador de capitalización

Modificá los datos para observar cómo cambia la base de cada período. La línea simple se incluye solo como referencia conceptual.

20.14 Ejercicio propuesto

Un capital de $100.000 se capitaliza durante 3 períodos a una tasa de 5 % por período.

1. Calculá la base y el interés de cada período.
2. Obtené el monto al finalizar el tercer período.
3. Calculá el interés total acumulado.
4. Compará los intereses monetarios de los tres períodos.
5. Implementá el recorrido con un ciclo.

let monto = 100000;
const tasa = 0.05;
const pasos = [];

for (let periodo = 1; periodo <= 3; periodo++) {
  const base = monto;
  const interes = base * tasa;
  monto = base + interes;
  pasos.push({ periodo, base, interes, monto });
}

console.log(monto); // 115762.5

20.15 Ideas para recordar

• Capitalizar es agregar el interés a la base siguiente.
• El primer período comienza con el capital inicial.
• Cada período posterior comienza con el monto anterior.
• Una tasa constante produce intereses monetarios crecientes si la base aumenta.
• El crecimiento compuesto es multiplicativo, no lineal.
• La recurrencia permite comprender el mecanismo paso a paso.

En el próximo tema profundizaremos el cálculo iterativo del monto período a período.