22. Fórmula del monto compuesto y factor de acumulación

22.1 Del porcentaje al factor periódico

Una tasa i aplicada sobre una base genera base × i de interés. Al sumar base e interés:

La expresión 1 + i es el factor de acumulación de un período.

22.2 Qué representa 1 + i

Si i = 0,025, el factor periódico es 1,025: cada cierre conserva la base y agrega 2,5 %.

22.3 Repetir el factor

Partimos de M₀ = C. Cada período multiplica el monto anterior por 1 + i:

La base de cada paso ya contiene los resultados anteriores.

22.4 La potencia resume multiplicaciones

Multiplicar el mismo factor n veces se escribe mediante una potencia:

Los paréntesis son indispensables: la potencia se aplica a todo el factor 1 + i.

22.5 El factor de acumulación total

Definimos el factor acumulado para n períodos como:

El factor no tiene unidad monetaria. Indica cuántas veces representa el monto respecto del capital bajo los supuestos del modelo.

22.6 Interpretar el factor

Si Fₙ = 1,2184, cada unidad monetaria inicial se transforma aproximadamente en 1,2184 unidades monetarias al finalizar n períodos. Por eso:

El factor resume la trayectoria, pero no reemplaza la información sobre tasa, plazo y periodicidad.

22.7 Calcular el interés total

Una vez obtenido el monto, el interés compuesto total es la diferencia con el capital:

El término entre corchetes representa únicamente el crecimiento acumulado por encima del capital inicial.

22.8 Ejemplo completo

Un capital de $180.000 se capitaliza al 2,5 % por período durante 8 períodos:

22.9 Casos de control

Estos casos permiten detectar fórmulas mal escritas.

22.10 Compatibilidad temporal

El exponente n cuenta períodos de la tasa. Si la tasa está dada por mes, n debe contar meses; si está dada por trimestre, debe contar trimestres.

Alcance: no convertimos una tasa a otra periodicidad. Las equivalencias entre tasas se estudiarán en el curso específico posterior.

22.11 Potencias en JavaScript

JavaScript ofrece el operador ** y la función Math.pow:

const capital = 180000;
const tasa = 0.025;
const periodos = 8;

const factor = (1 + tasa) ** periodos;
const monto = capital * factor;
const interes = monto - capital;

console.log(factor);  // 1.218402897...
console.log(monto);   // 219312.521...
console.log(interes); // 39312.521...

Escribir 1 + tasa ** periodos sería otra expresión, porque la potencia se aplicaría solo a la tasa.

22.12 Verificar con una iteración

La fórmula cerrada y el recorrido período a período describen el mismo modelo. Podemos usarlos como controles independientes:

const capital = 180000;
const tasa = 0.025;
const periodos = 8;

let montoIterativo = capital;

for (let k = 0; k < periodos; k++) {
  montoIterativo *= 1 + tasa;
}

const montoFormula = capital * (1 + tasa) ** periodos;
const diferencia = Math.abs(montoFormula - montoIterativo);

console.log("Monto iterativo:", montoIterativo.toFixed(6));
console.log("Monto con fórmula:", montoFormula.toFixed(6));
console.log("Diferencia:", diferencia);

El ejemplo declara todos sus datos antes de utilizarlos. Una diferencia diminuta puede deberse al punto flotante; una diferencia grande suele indicar un error.

22.13 Simulador del factor de acumulación

Modificá los datos para observar el factor periódico, la potencia acumulada y el monto. La tabla muestra cómo evoluciona el factor sin recalcular manualmente cada interés.

22.14 Ejercicio propuesto

Un capital de $500.000 se capitaliza durante 10 meses a una tasa de 1,2 % mensual.

1. Convertí la tasa a decimal.
2. Calculá el factor periódico.
3. Calculá el factor acumulado.
4. Obtené el monto y el interés total.
5. Verificá el monto mediante un ciclo.

const capital = 500000;
const tasa = 0.012;
const periodos = 10;
const factor = (1 + tasa) ** periodos;
const monto = capital * factor;
const interes = monto - capital;

console.log(factor);  // 1.126691...
console.log(monto);   // 563345.89...
console.log(interes); // 63345.89...

22.15 Ideas para recordar

• 1 + i es el factor de acumulación de un período.
• (1 + i)ⁿ resume n multiplicaciones iguales.
• M = C × (1 + i)ⁿ calcula directamente el monto compuesto.
• El factor acumulado no tiene unidad monetaria.
• El interés total se obtiene mediante I = M − C.
• La fórmula cerrada y la iteración deben producir el mismo resultado.

En el próximo tema calcularemos el capital inicial y el número de períodos en el modelo compuesto.