8. Logaritmos para calcular cantidades de períodos

8.1 El problema del exponente desconocido

Sabemos calcular Vₙ = V₀ × fⁿ cuando conocemos la cantidad de períodos n. Pero otra pregunta frecuente es: ¿cuántas veces debemos aplicar el factor para alcanzar un valor objetivo?

Por ejemplo, si $100.000 se multiplican por 1,05 en cada período, queremos saber cuándo alcanzan $150.000. La incógnita aparece como exponente:

8.2 Qué es un logaritmo

El logaritmo responde qué exponente necesita una base para producir un número:

Potencia y logaritmo son operaciones inversas. Esta relación permite sacar una incógnita del exponente y convertirla en un factor ordinario.

8.3 Bases habituales

Para el despeje de n podemos usar logaritmos naturales o decimales, siempre que utilicemos la misma base en numerador y denominador.

8.4 Propiedades necesarias

La propiedad de la potencia es la clave: transforma el exponente en un multiplicador.

8.5 Despeje paso a paso

Partimos de Vₙ = V₀ × fⁿ, con valores positivos:

El cociente final entrega la cantidad teórica de períodos.

8.6 Ejemplo de crecimiento

Para pasar de $100.000 a $150.000 con un factor constante de 1,05:

El objetivo se alcanza entre los períodos completos 8 y 9 si el modelo admite valores fraccionarios. Al finalizar el período 8 hay $147.745,54; al finalizar el 9, $155.132,82.

8.7 Crecimiento y disminución

Si f > 1, la secuencia crece y un objetivo futuro coherente debe ser mayor o igual que el valor inicial. Si 0 < f < 1, la secuencia disminuye y el objetivo futuro debe ser menor o igual.

La misma fórmula funciona en ambos casos. En una disminución, tanto ln(Vₙ/V₀) como ln(f) son negativos y su cociente resulta positivo.

8.8 Condiciones del cálculo

• V₀ > 0 y Vₙ > 0: el logaritmo real no está definido para cero ni números negativos.
• f > 0: necesitamos un factor positivo.
• f ≠ 1: si el factor es 1, el valor nunca cambia y ln(1)=0 produciría una división por cero.
• Dirección coherente: el objetivo debe poder alcanzarse avanzando con el factor elegido.

8.9 Períodos fraccionarios y completos

Un resultado como 8,3104 tiene una interpretación matemática exacta dentro de un modelo continuo de exponentes. Pero una operación puede permitir cambios solo al final de períodos completos.

Si necesitamos el primer período completo que alcanza o supera un objetivo creciente, usamos Math.ceil(n). Redondear simplemente al entero más cercano podría elegir el período 8, cuando todavía no se alcanzó el objetivo.

El criterio depende del problema: no debemos redondear hacia arriba automáticamente sin decidir antes qué significa una fracción de período en el modelo.

8.10 Comprobar por sustitución

Reemplazamos n en la expresión original:

También conviene comprobar los períodos enteros vecinos. Esa comparación ayuda a interpretar el resultado y detectar errores de redondeo o de escala.

8.11 Logaritmos en JavaScript

function calcularPeriodos(valorInicial, valorObjetivo, factor) {
  if (valorInicial <= 0 || valorObjetivo <= 0 || factor <= 0 || factor === 1) {
    throw new Error("Los valores no pertenecen al dominio");
  }
  return Math.log(valorObjetivo / valorInicial) / Math.log(factor);
}

const periodos = calcularPeriodos(100000, 150000, 1.05);
console.log("Períodos teóricos:", periodos.toFixed(4));
console.log("Primer período completo posterior:", Math.ceil(periodos));

Math.log calcula el logaritmo natural. Math.log10 calcula el decimal, pero el cociente dará el mismo valor si ambas llamadas usan la misma base.

8.12 Simulador: tiempo para alcanzar un objetivo

Ingresá valores positivos y un factor distinto de 1. La herramienta calcula el período teórico, los enteros vecinos y la evolución hasta el objetivo.

8.13 Errores frecuentes

• Usar valorObjetivo / factor como si el crecimiento fuera aditivo.
• Olvidar dividir el objetivo por el valor inicial antes de aplicar el logaritmo.
• Mezclar bases de logaritmo entre numerador y denominador.
• Intentar calcular ln(0), ln(factor negativo) o dividir por ln(1).
• Redondear los períodos sin interpretar cuándo debe alcanzarse el objetivo.

8.14 Ejercicio propuesto

Un valor inicial de $250.000 se multiplica por 1,08 en cada período. Se desea alcanzar al menos $400.000.

1. Planteá la ecuación exponencial.
2. Despejá la cantidad teórica de períodos.
3. Calculá los valores al finalizar los períodos enteros anterior y siguiente.
4. Indicá el primer período completo que alcanza el objetivo.
5. Implementá y comprobá el cálculo en JavaScript.

const inicial = 250000;
const objetivo = 400000;
const factor = 1.08;

const periodos = Math.log(objetivo / inicial) / Math.log(factor);
const anterior = Math.floor(periodos);
const siguiente = Math.ceil(periodos);

console.log("Períodos teóricos:", periodos.toFixed(4));
console.log("Período anterior:", (inicial * factor ** anterior).toFixed(2));
console.log("Período siguiente:", (inicial * factor ** siguiente).toFixed(2));

8.15 Ideas para recordar

• El logaritmo es la operación inversa de la potencia.
• La propiedad log(aⁿ)=n×log(a) permite aislar el exponente.
• n = ln(Vₙ/V₀) / ln(f) calcula períodos en un proceso multiplicativo.
• Los valores y el factor deben pertenecer al dominio del logaritmo.
• Un período teórico fraccionario no siempre equivale a un período operativo completo.

En el próximo tema estudiaremos redondeo, precisión decimal y errores de cálculo monetario.