11. Magnitudes escalares y vectoriales: una primera aproximación

11.1 Dos maneras de describir una magnitud

Una magnitud escalar queda determinada por un valor numérico y una unidad. La masa de 2 kg, un tiempo de 5 s y una temperatura de 20 °C son ejemplos.

Una magnitud vectorial necesita además orientación. Decir que un objeto se desplaza 3 m no indica hacia dónde; decir «3 m hacia la derecha» aporta información adicional. El desplazamiento, la velocidad y la fuerza son ejemplos de magnitudes vectoriales.

11.2 Ejemplos de escalares y vectores

El contexto puede especificar una orientación mediante un eje, una brújula o un sistema de coordenadas. Debemos declarar esa convención antes de asignar signos a los componentes.

11.3 Representar un vector con una flecha

En un plano, dibujamos un vector como una flecha. El punto donde comienza es el origen o cola; el extremo con punta es la cabeza. La longitud de la flecha representa su magnitud según una escala elegida.

La dirección indica la línea de acción y el sentido indica hacia cuál de los dos lados apunta. Dos vectores de 4 m pueden tener la misma magnitud y direcciones opuestas.

11.4 Componentes en dos dimensiones

Un vector en un plano puede expresarse mediante dos componentes: una horizontal y una vertical. Si elegimos x positiva hacia la derecha e y positiva hacia arriba, un vector (3, 4) tiene 3 unidades hacia la derecha y 4 hacia arriba.

Las componentes son números con la misma unidad del vector. Un desplazamiento de (3 m, 4 m) no es una posición: describe un cambio desde un origen que debemos especificar.

11.5 Magnitud de un vector

Cuando las componentes son perpendiculares, la magnitud se calcula con el teorema de Pitágoras:

Para el vector (3 m, 4 m), la magnitud es √(3² + 4²) = 5 m. La magnitud es un escalar: conserva la unidad, pero no la dirección ni el sentido.

11.6 Dirección y ángulo

Podemos describir la orientación mediante un ángulo respecto del eje x positivo. En programación, Math.atan2(y, x) calcula ese ángulo en radianes considerando correctamente el cuadrante.

La dirección no es necesaria para todos los problemas. En un movimiento estrictamente horizontal podemos usar una sola componente con signo. En dos dimensiones, guardar componentes suele ser más práctico que guardar solo magnitud y ángulo.

11.7 Sumar vectores por componentes

Los vectores se suman componente a componente. Si un objeto se desplaza primero (2 m, 1 m) y luego (−1 m, 3 m), el desplazamiento total es (1 m, 4 m).

const primerDesplazamientoM = { x: 2, y: 1 };
const segundoDesplazamientoM = { x: -1, y: 3 };

const totalM = {
  x: primerDesplazamientoM.x + segundoDesplazamientoM.x,
  y: primerDesplazamientoM.y + segundoDesplazamientoM.y
};

console.log(totalM);

El resultado es { x: 1, y: 4 }. No sumamos directamente las magnitudes √5 m y √10 m, porque eso perdería las direcciones involucradas.

11.8 Laboratorio: componentes, magnitud y dirección

Ajustá las componentes x e y del vector o arrastrá la punta de la flecha. El laboratorio calcula su magnitud y ángulo. El plano usa la convención matemática: x aumenta hacia la derecha e y hacia arriba.

• Probá (3, 4) y (−3, −4): tienen la misma magnitud, pero sentidos opuestos.
• Con (0, 0), la magnitud es 0 y el ángulo no está definido.
• Con (0, 5), el vector apunta hacia arriba y su ángulo es 90°.
• El dibujo utiliza una escala gráfica; las componentes conservan unidades físicas en metros.

11.9 Vectores y posiciones

Una posición localiza un punto respecto de un origen. Un vector de desplazamiento expresa el cambio entre dos posiciones. Si un objeto va de (1 m, 2 m) a (4 m, 6 m), su desplazamiento es (3 m, 4 m).

En código puede ser tentador usar el mismo objeto {x, y} para ambos. Es válido si documentamos qué representa cada objeto y qué unidad tienen sus propiedades.

const inicioM = { x: 1, y: 2 };
const finM = { x: 4, y: 6 };

const desplazamientoM = {
  x: finM.x - inicioM.x,
  y: finM.y - inicioM.y
};

console.log(desplazamientoM);

11.10 Errores habituales

• Confundir la magnitud de un vector con una de sus componentes.
• Sumar solo longitudes de flechas cuando las direcciones son diferentes.
• Mezclar coordenadas de pantalla con coordenadas físicas sin conversión.
• Olvidar indicar qué sentido representa un componente positivo.
• Usar un ángulo sin especificar el eje de referencia y la unidad angular.
• Tratar un desplazamiento como si fuera una posición absoluta.

Las componentes permiten conservar toda la información necesaria para muchas operaciones. Más adelante estudiaremos vectores con mayor profundidad.

11.11 Ejercicio propuesto

Un robot se desplaza 6 m hacia la derecha y 8 m hacia arriba. Representá el desplazamiento con componentes, calculá su magnitud y comparalo con un robot que se desplaza (−6 m, −8 m).

const desplazamientoM = { x: 6, y: 8 };
const magnitudM = Math.hypot(desplazamientoM.x, desplazamientoM.y);
const opuestoM = { x: -6, y: -8 };

console.log(magnitudM, "m");
console.log(Math.hypot(opuestoM.x, opuestoM.y), "m");

11.12 Ideas para recordar

• Los escalares se describen con valor y unidad.
• Los vectores requieren además una orientación.
• En dos dimensiones, un vector puede representarse con componentes x e y.
• La magnitud es √(x² + y²) y es un escalar.
• Los vectores se suman por componentes.
• Las posiciones y los desplazamientos usan pares de valores, pero tienen significados distintos.

En el próximo tema estudiaremos sistemas de referencia, coordenadas y representación en pantalla.