9.1 Números fuera de la escala cotidiana
En medición aparecen valores como 299 792 458 m/s para la velocidad de la luz o 0,000 000 001 m para un nanómetro. Escribir todos los ceros dificulta leer, comparar y copiar los datos.
Las potencias de diez permiten separar dos informaciones: las cifras significativas del valor y la escala a la que pertenece. Así, 0,000 000 001 m se escribe 1 × 10⁻⁹ m.
Esta notación también reduce errores al convertir unidades y resulta natural en lenguajes de programación, calculadoras y hojas de cálculo.
9.2 Potencias de diez
Una potencia de diez tiene la forma 10n, donde n es un exponente entero. Si el exponente es positivo, indica cuántas veces multiplicamos por diez; si es negativo, indica una división por una potencia positiva.
Todo número distinto de cero elevado a la potencia cero vale uno. Cada incremento de una unidad en el exponente multiplica por diez; cada disminución divide por diez.
9.3 Reglas de los exponentes
Las operaciones con potencias de la misma base se simplifican mediante reglas:
Cociente: 10a / 10b = 10a−b
Potencia: (10a)b = 10a·b
Por ejemplo, 10³ × 10⁻⁵ = 10⁻² y 10⁶ / 10² = 10⁴. Estas reglas serán útiles en conversiones y análisis dimensional.
9.4 Notación científica normalizada
Un número distinto de cero está en notación científica normalizada cuando se escribe:
a es el coeficiente o significando y n es un exponente entero. El signo puede aparecer en el coeficiente: −4,2 × 10³.
| Expresión | ¿Normalizada? | Forma normalizada |
|---|---|---|
| 3,5 × 10⁴ | Sí | 3,5 × 10⁴ |
| 35 × 10³ | No | 3,5 × 10⁴ |
| 0,72 × 10⁻⁵ | No | 7,2 × 10⁻⁶ |
| −8,1 × 10² | Sí | −8,1 × 10² |
9.5 Del número decimal a notación científica
Desplazamos el separador decimal hasta dejar una sola cifra distinta de cero a su izquierda. La cantidad de posiciones determina el exponente.
- Si movemos la coma hacia la izquierda, el exponente es positivo.
- Si la movemos hacia la derecha, el exponente es negativo.
0,000 072 = 7,2 × 10⁻⁵
Podemos comprobar el signo: una potencia positiva debe recuperar un número grande y una negativa, un número menor que uno.
9.6 De notación científica a decimal
Realizamos el proceso inverso. Un exponente positivo desplaza el separador hacia la derecha; uno negativo, hacia la izquierda.
3,1 × 10⁻⁴ = 0,000 31
Los ceros que agregamos ubican las cifras en la escala correcta. No deben confundirse automáticamente con cifras significativas, tema que estudiaremos más adelante.
9.7 Multiplicación y división
Para multiplicar números en notación científica, multiplicamos los coeficientes y sumamos los exponentes. Luego normalizamos si es necesario:
(6 × 10⁴)(3 × 10²) = 18 × 10⁶ = 1,8 × 10⁷
Para dividir, dividimos los coeficientes y restamos los exponentes:
Las unidades se operan al mismo tiempo que los valores numéricos.
9.8 Suma y resta
Para sumar o restar, primero expresamos ambos términos con la misma potencia de diez. Los exponentes no se suman.
= 3,2 × 10⁵ + 0,4 × 10⁵
= 3,6 × 10⁵
También debemos usar unidades compatibles. No se suman 3 × 10² m y 2 × 10¹ s, aunque podamos igualar sus exponentes.
9.9 ¿Qué es el orden de magnitud?
El orden de magnitud describe la potencia de diez más cercana al valor absoluto de una cantidad. Permite comparar escalas sin prestar atención a todos los detalles.
Si un número normalizado es a × 10n, su potencia más cercana es 10n cuando |a| es menor que √10 ≈ 3,16; si el coeficiente es mayor o igual, es 10n+1.
7,0 × 10⁵ → orden 10⁶
En usos informales, “del orden de 10n” puede indicar solo la escala dada por el exponente de la notación científica. Por eso conviene indicar el criterio cuando la diferencia sea importante.
9.10 Estimar y comparar escalas
Los órdenes de magnitud permiten detectar resultados imposibles y comparar cantidades rápidamente. Entre 10³ y 10⁶ hay tres órdenes de diferencia y un factor de 10³ = 1000.
Si una aplicación informa que una puerta mide 2 × 10³ m, el orden de magnitud revela un problema: la altura esperable está cerca de 10⁰ m.
Estimar antes de calcular es una forma eficaz de control. El resultado exacto puede variar, pero debería permanecer en una escala razonable.
9.11 Notación de ingeniería y prefijos
La notación de ingeniería utiliza exponentes múltiplos de tres y permite un coeficiente entre 1 y 1000. Se relaciona directamente con muchos prefijos del SI.
0,000 002 2 s = 2,2 × 10⁻⁶ s = 2,2 µs
La notación científica de 47 000 es 4,7 × 10⁴; la notación de ingeniería es 47 × 10³. Ambas son correctas, pero cumplen convenciones diferentes.
9.12 Notación científica y precisión
La cantidad de cifras escritas en el coeficiente puede comunicar precisión. 3 × 10², 3,0 × 10² y 3,00 × 10² tienen el mismo valor matemático, pero pueden representar diferentes niveles de detalle en una medición.
La notación científica elimina ambigüedades de ceros finales. En 1,50 × 10³ m queda claro que se presentan tres cifras significativas.
Estudiaremos reglas de cifras significativas y redondeo en el tema 17. Por ahora, no agregaremos decimales que los datos originales no justifican.
9.13 Analizador interactivo de números
Ingresá un número distinto de cero y elegí cuántas cifras mostrar. La herramienta calcula la notación científica, la notación de ingeniería y el orden de magnitud más cercano.
Analizador de escala
Probá con valores grandes, pequeños, positivos y negativos.
4,56 × 10⁴
El coeficiente 4,56 supera √10; por eso la potencia más cercana es 10⁵.
9.14 Notación exponencial en JavaScript
JavaScript acepta la letra e para indicar una potencia de diez. Esta es sintaxis de programación, no la forma tipográfica recomendada para un texto:
const velocidadLuzMps = 2.99792458e8;
const nanometroM = 1e-9;
console.log(velocidadLuzMps);
console.log(nanometroM);
console.log(45600..toExponential(2));2.99792458e8 significa 2,99792458 × 10⁸. El método toExponential(2) muestra dos cifras después del punto decimal, es decir, tres cifras en total en este ejemplo.
Los números de JavaScript tienen límites de rango y precisión. La notación exponencial cambia la representación, no aumenta por sí sola la precisión disponible.
9.15 Errores frecuentes
- Dejar un coeficiente sin normalizar:
45 × 10³no es notación científica normalizada. - Invertir el signo: los números pequeños requieren exponentes negativos.
- Sumar exponentes al sumar cantidades: primero deben igualarse.
- Ignorar las unidades: la notación científica no vuelve compatibles magnitudes diferentes.
- Confundir exponente con orden más cercano: el criterio de √10 puede desplazarlo una potencia.
- Confundir
econ una unidad: en código forma parte de la representación numérica.
9.16 Ejercicios propuestos
- Escribí 8 250 000 en notación científica normalizada.
- Escribí 0,000 034 en notación científica.
- Calculá (3 × 10⁴)(2 × 10⁻³).
- Calculá 5,0 × 10⁶ + 7,0 × 10⁵.
- Determiná el orden de magnitud más cercano de 2,8 × 10⁷ y 6,2 × 10⁷.
Ver soluciones y explicaciones
- 8,25 × 10⁶.
- 3,4 × 10⁻⁵.
- 3 × 2 × 104−3 = 6 × 10¹ = 60.
- 5,0 × 10⁶ + 0,7 × 10⁶ = 5,7 × 10⁶.
- 2,8 es menor que √10, por lo que el orden es 10⁷. 6,2 es mayor, por lo que el orden es 10⁸.
9.17 Ideas para recordar
- Las potencias de diez representan escalas mediante exponentes.
- En notación científica normalizada, el valor absoluto del coeficiente está entre 1 y 10.
- Al multiplicar se suman exponentes; al dividir se restan.
- Para sumar o restar, primero se igualan los exponentes.
- El orden de magnitud aproxima una cantidad mediante la potencia de diez más cercana.
- La notación de ingeniería utiliza exponentes múltiplos de tres y se relaciona con los prefijos del SI.
En el próximo tema estudiaremos la conversión de unidades mediante factores de conversión.