La media aritmética, conocida habitualmente como promedio, se obtiene sumando todos los valores y dividiendo la suma por la cantidad de observaciones. Es una medida central basada en toda la información disponible.
La media aritmética busca un valor de equilibrio: si todos los datos se reemplazaran por la media, la suma total permanecería igual.
Es una de las medidas estadísticas más utilizadas porque es sencilla, permite operaciones algebraicas y utiliza cada observación. Sin embargo, puede verse muy afectada por valores extremos.
Para n observaciones x₁, x₂, ..., xₙ, la media se expresa así:
La letra griega Σ indica que se suman todos los valores. El denominador n es la cantidad de observaciones, no el valor máximo ni la cantidad de categorías.
Calculemos la media de cinco tiempos, en milisegundos:
El promedio es 18 ms, aunque 18 sí pertenece a la lista en este caso. No es necesario que la media coincida con una observación real.
La media conserva las unidades de la variable:
| Variable | Unidad | Media posible |
|---|---|---|
| Tiempo de respuesta | ms | 132,6 ms |
| Consumo | kWh | 18,4 kWh |
| Errores por ejecución | errores | 2,75 errores |
| Proporción | sin unidad o % | 0,37 o 37 % |
Una media decimal no implica que cada observación pueda tener una fracción de unidad. Es el valor central calculado, no necesariamente una medición individual.
La suma de las desviaciones respecto de la media siempre es cero:
Para los datos 12, 15, 18, 20 y 25, la media es 18. Las desviaciones son −6, −3, 0, 2 y 7; su suma es 0.
Esta propiedad explica por qué la media funciona como un punto de equilibrio: las diferencias por debajo compensan las diferencias por encima.
La media es el valor que hace mínima la suma de las distancias al cuadrado:
Esta propiedad es importante en regresión, optimización y aprendizaje automático. Si se cambia el cuadrado por valor absoluto, el punto que minimiza la suma pasa a relacionarse con la mediana.
Comparamos dos conjuntos:
Un único valor extremo elevó la media de 12 a 29,2. La media no está equivocada: resume todos los valores que recibió. El problema aparece cuando se la interpreta como centro típico de una distribución muy asimétrica.
| Situación | Media | Mediana recomendada |
|---|---|---|
| Distribución aproximadamente simétrica | Representa bien el centro. | También puede ser adecuada. |
| Cola larga o extremos | Se desplaza hacia la cola. | Suele ser más resistente. |
| Variable nominal | No es interpretable. | Tampoco. |
| Variable ordinal | Depende de que los intervalos sean comparables. | Suele respetar mejor el orden. |
La elección debe responder a la pregunta y a la distribución, no a una preferencia automática por una fórmula.
Observa cómo el promedio se mueve hacia un valor extremo. La línea naranja marca la media y los puntos representan las observaciones.
La fórmula es la misma, pero el contexto cambia:
| Concepto | Notación habitual | Interpretación |
|---|---|---|
| Media poblacional | μ | Promedio de todos los elementos de interés. |
| Media muestral | x̄ | Promedio calculado con una muestra. |
Una media muestral se utiliza para describir la muestra y, bajo ciertas condiciones, para estimar la media de una población. No debe presentarse una muestra pequeña como si fuera toda la población.
Cuando una tabla contiene valores y frecuencias, cada valor se multiplica por la cantidad de veces que aparece:
Si los datos están agrupados en intervalos, se utiliza la marca de clase y el resultado es una aproximación.
La frecuencia relativa también puede usarse como peso:
Como las proporciones suman 1, esta expresión equivale a la media de frecuencias absolutas. Esta forma es útil al trabajar con tablas, porcentajes o probabilidades.
La media ponderada asigna pesos explícitos a los valores:
Por ejemplo, si un proyecto vale 40 % y un examen vale 60 %, la nota final no es la media simple de ambas notas. El tema 19 profundizará esta situación.
No siempre es correcto promediar medias de grupos con el mismo peso. Si los grupos tienen tamaños diferentes, hay que ponderar cada media:
Promediar directamente dos promedios otorga a cada grupo el mismo peso, aunque uno tenga 10 observaciones y el otro 10.000.
Si se conoce la media actual y se agrega un nuevo valor, no es necesario volver a sumar todos los datos:
También puede actualizarse con:
Esta fórmula es útil en sistemas que reciben mediciones de forma continua.
En programación, sumar miles o millones de números puede acumular error de redondeo. Para datos con escalas muy diferentes conviene conservar suficiente precisión durante el cálculo y redondear solo al presentar.
La media debe calcularse con un tipo numérico adecuado. En aplicaciones críticas pueden utilizarse algoritmos de suma compensada o tipos decimales específicos.
Este ejemplo calcula la media, verifica la suma de desviaciones y dibuja los datos junto con la línea del promedio.
const datos = [10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18];
const suma = datos.reduce((acumulado, valor) => acumulado + valor, 0);
const media = suma / datos.length;
const desviaciones = datos.map(valor => valor - media);
const sumaDesviaciones = desviaciones.reduce((acumulado, valor) => acumulado + valor, 0);
console.log('Suma:', suma);
console.log('Media:', media.toFixed(2));
console.log('Suma de desviaciones:', sumaDesviaciones.toFixed(10));
if (typeof document !== 'undefined') {
const canvas = document.getElementById('canvasMediaCodigo');
const contexto = canvas.getContext('2d');
const area = { izquierda: 70, derecha: 770, arriba: 65, base: 350 };
const escalaX = valor => area.izquierda + (valor - 8) / 12 * (area.derecha - area.izquierda);
contexto.clearRect(0, 0, canvas.width, canvas.height);
contexto.fillStyle = '#fffdfb';
contexto.fillRect(0, 0, canvas.width, canvas.height);
contexto.fillStyle = '#4b2a1d'; contexto.font = 'bold 18px Segoe UI, Arial';
contexto.fillText('Media aritmética', 22, 30);
contexto.strokeStyle = '#f0d8c5'; contexto.lineWidth = 1;
contexto.beginPath(); contexto.moveTo(area.izquierda, area.base); contexto.lineTo(area.derecha, area.base); contexto.stroke();
contexto.fillStyle = '#7c3f24'; contexto.font = '12px Segoe UI, Arial'; contexto.textAlign = 'center';
for (let valor = 8; valor <= 20; valor++) {
const x = escalaX(valor);
contexto.beginPath(); contexto.moveTo(x, area.arriba); contexto.lineTo(x, area.base); contexto.stroke();
contexto.fillText(valor, x, area.base + 19);
}
contexto.fillStyle = '#e76f51';
datos.forEach(valor => { contexto.beginPath(); contexto.arc(escalaX(valor), 230, 7, 0, Math.PI * 2); contexto.fill(); });
const xMedia = escalaX(media);
contexto.strokeStyle = '#c2410c'; contexto.lineWidth = 3;
contexto.beginPath(); contexto.moveTo(xMedia, area.arriba); contexto.lineTo(xMedia, area.base - 28); contexto.stroke();
contexto.fillStyle = '#c2410c'; contexto.font = 'bold 13px Segoe UI, Arial';
contexto.fillText(`Media = ${media.toFixed(2)}`, xMedia, area.base - 8);
}Un resultado debe informar qué se promedió, con qué unidad, sobre cuántas observaciones y durante qué período. “Promedio 12” sin contexto no permite interpretar el dato.
Si la distribución es asimétrica, conviene acompañar la media con mediana, rango o RIC. El gráfico y el texto deben indicar si hay valores extremos que puedan desplazarla.
La media aritmética es una medida central potente y versátil. Resume toda la información mediante un punto de equilibrio, pero su sensibilidad a los extremos exige mirar la distribución y acompañarla con medidas de dispersión.
En el próximo tema estudiaremos la media ponderada, necesaria cuando los valores no contribuyen todos con la misma importancia.