Las medidas de dispersión describen cuánto se separan las observaciones entre sí y respecto de un centro. Complementan a la media, mediana y moda para mostrar la variabilidad de una distribución.
Dos conjuntos pueden tener la misma media y comportarse de forma muy distinta. Las medidas de dispersión cuantifican esa diferencia y permiten saber si los datos están concentrados o extendidos.
Las medidas principales son el rango, el rango intercuartílico, la varianza, la desviación estándar y el coeficiente de variación.
La media no distingue la concentración del grupo A de la amplitud del grupo B. Para completar el análisis necesitamos una medida de dispersión.
El rango es la medida más sencilla:
Para el grupo A: 52 − 48 = 4. Para el grupo B: 80 − 20 = 60.
Utiliza solo dos observaciones, por eso es muy sensible a los extremos. Es útil como descripción rápida, pero insuficiente para conocer la concentración interna.
El rango intercuartílico mide la amplitud del 50 % central:
Es más resistente que el rango porque no depende directamente del mínimo ni del máximo. Se utiliza junto con la mediana en distribuciones asimétricas y diagramas de caja.
Una desviación individual es:
Las desviaciones positivas están por encima de la media y las negativas por debajo. Su suma es cero, por lo que no se pueden promediar directamente para medir dispersión.
Para evitar la cancelación se elevan al cuadrado o se toman valores absolutos.
La varianza utiliza el promedio de las desviaciones al cuadrado:
La diferencia entre N y n − 1 depende de si se describe toda la población o se estima una población a partir de una muestra.
La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza:
Al volver a la raíz, la medida recupera las unidades originales. Una desviación estándar pequeña indica que los datos suelen estar cerca del centro; una grande indica mayor variabilidad.
Compara una distribución concentrada, una extendida y una con un valor extremo. El gráfico muestra puntos, media, rango y desviación estándar.
| Medida | Utiliza | Ventaja | Sensibilidad |
|---|---|---|---|
| Rango | Mínimo y máximo. | Fácil de calcular. | Muy sensible a extremos. |
| RIC | Q1 y Q3. | Resistente y útil con mediana. | Ignora la mitad exterior. |
| Varianza | Todas las desviaciones cuadradas. | Útil para álgebra y modelos. | Sensible a extremos; unidades cuadradas. |
| Desvío estándar | Raíz de la varianza. | Vuelve a las unidades originales. | Sensible a extremos. |
Para una distribución aproximadamente simétrica y sin extremos, media y desviación estándar suelen ser una pareja útil. Para una distribución asimétrica, mediana y RIC suelen ser más resistentes.
El rango puede acompañar una descripción básica, pero no reemplaza una medida que considere todos los datos o la mitad central.
El coeficiente de variación compara la desviación estándar con la media:
Es una medida relativa, útil para comparar variables con distintas escalas. No debe utilizarse si la media es cero o muy cercana a cero, ni sin revisar que el cero de la escala tenga sentido.
El rango y la desviación estándar tienen las mismas unidades que la variable. La varianza tiene unidades al cuadrado. El CV no tiene unidades porque es una proporción.
Si todos los datos se multiplican por una constante, rango y desviación estándar se multiplican por su valor absoluto; la varianza se multiplica por el cuadrado; el CV permanece igual si la constante es positiva.
Al calcular varianza y desviación estándar hay que distinguir:
El divisor n − 1 corrige parcialmente el hecho de que la media muestral se estima con los mismos datos. La elección debe quedar documentada.
Un valor extremo puede aumentar mucho el rango, la varianza y la desviación estándar. También puede mover la media y alterar el CV.
El RIC y la mediana suelen cambiar menos. Comparar medidas resistentes y no resistentes ayuda a detectar si la conclusión depende de unos pocos casos.
Con una tabla de frecuencias se calculan productos ponderados:
Si se usan intervalos, la marca de clase reemplaza cada valor y la dispersión es aproximada. Intervalos más anchos pueden ocultar variabilidad interna.
El siguiente ejemplo calcula rango, RIC, varianza poblacional y desviación estándar, y muestra los resultados sobre una escala.
const datos = [48, 49, 50, 51, 52];
const media = datos.reduce((suma, valor) => suma + valor, 0) / datos.length;
const minimo = Math.min(...datos);
const maximo = Math.max(...datos);
const rango = maximo - minimo;
const varianza = datos.reduce((suma, valor) => suma + (valor - media) ** 2, 0) / datos.length;
const desviacion = Math.sqrt(varianza);
const ordenados = [...datos].sort((a, b) => a - b);
const q1 = ordenados[1];
const q3 = ordenados[3];
const ric = q3 - q1;
console.log('Media:', media);
console.log('Rango:', rango);
console.log('Varianza poblacional:', varianza.toFixed(2));
console.log('Desviación estándar:', desviacion.toFixed(2));
console.log('RIC:', ric);
if (typeof document !== 'undefined') {
const canvas = document.getElementById('canvasDispersionCodigo');
const contexto = canvas.getContext('2d');
const area = { izquierda: 70, derecha: 770, arriba: 60, base: 350 };
const escalaX = valor => area.izquierda + (valor - 45) / 10 * (area.derecha - area.izquierda);
contexto.clearRect(0, 0, canvas.width, canvas.height);
contexto.fillStyle = '#fbfdff'; contexto.fillRect(0, 0, canvas.width, canvas.height);
contexto.fillStyle = '#17324d'; contexto.font = 'bold 18px Segoe UI, Arial'; contexto.fillText('Medidas de dispersión', 22, 30);
contexto.strokeStyle = '#d8e8f7'; contexto.lineWidth = 1; contexto.beginPath(); contexto.moveTo(area.izquierda, 230); contexto.lineTo(area.derecha, 230); contexto.stroke();
contexto.fillStyle = '#28587d'; contexto.font = '12px Segoe UI, Arial'; contexto.textAlign = 'center';
for (let valor = 45; valor <= 55; valor++) { const x = escalaX(valor); contexto.beginPath(); contexto.moveTo(x, area.arriba); contexto.lineTo(x, area.base); contexto.stroke(); contexto.fillText(valor, x, area.base + 18); }
contexto.fillStyle = '#8ebbd2'; datos.forEach(valor => { contexto.beginPath(); contexto.arc(escalaX(valor), 230, 7, 0, Math.PI * 2); contexto.fill(); });
contexto.strokeStyle = '#168aad'; contexto.lineWidth = 3; const xMedia = escalaX(media); contexto.beginPath(); contexto.moveTo(xMedia, area.arriba); contexto.lineTo(xMedia, area.base - 30); contexto.stroke(); contexto.fillStyle = '#168aad'; contexto.font = 'bold 13px Segoe UI, Arial'; contexto.fillText(`Media: ${media}`, xMedia, area.base - 8);
contexto.strokeStyle = '#c2410c'; contexto.lineWidth = 5; contexto.beginPath(); contexto.moveTo(escalaX(q1), 290); contexto.lineTo(escalaX(q3), 290); contexto.stroke(); contexto.fillStyle = '#c2410c'; contexto.fillText(`RIC: ${ric}`, xMedia, 315);
}Un informe debe indicar la medida usada, si describe población o muestra, sus unidades, el centro asociado y el tratamiento de extremos o faltantes.
Las líneas y rangos del gráfico deben llevar etiquetas textuales. La dispersión no debe comunicarse solo mediante diferencias de color.
Las medidas de dispersión completan la descripción de una distribución. Saber dónde está el centro no alcanza: también necesitamos conocer si los valores están concentrados, extendidos o dominados por extremos.
En los próximos temas estudiaremos con detalle el rango, la varianza, la desviación estándar y el coeficiente de variación.