Un intervalo de confianza combina una estimación puntual con un margen de error para comunicar un rango plausible de valores para un parámetro poblacional.
Un intervalo de confianza se calcula a partir de una muestra y expresa la incertidumbre del procedimiento de estimación. Tiene una forma general:
Por ejemplo, una media estimada de 72 con un margen de error de 3 produce el intervalo [69, 75].
La estimación puntual resume la muestra con un único valor, como x̄ = 72. El intervalo agrega información sobre cuánto puede variar esa estimación entre muestras.
Los niveles usuales son 90 %, 95 % y 99 %. Un nivel mayor requiere un intervalo más ancho cuando el tamaño de muestra y la variabilidad se mantienen constantes.
| Nivel | Valor z aproximado | Interpretación operativa |
|---|---|---|
| 90 % | 1,645 | Menor amplitud, menor cobertura a largo plazo. |
| 95 % | 1,96 | Uso frecuente como compromiso. |
| 99 % | 2,576 | Mayor amplitud, mayor cobertura a largo plazo. |
En el enfoque frecuentista, un intervalo de confianza del 95 % se interpreta mediante el procedimiento: si repitiéramos muchas muestras y construyéramos un intervalo del mismo modo, aproximadamente el 95 % de esos intervalos cubriría el parámetro verdadero.
No significa que, después de calcular un intervalo concreto, exista una probabilidad del 95 % de que el parámetro fijo esté dentro de él.
Si la desviación estándar poblacional es conocida, un intervalo aproximado para μ es:
En la práctica σ suele ser desconocida y se reemplaza por la desviación estándar muestral s. Para muestras pequeñas se utiliza la distribución t de Student.
Para una media con σ conocida:
El margen aumenta cuando sube la variabilidad o el nivel de confianza, y disminuye cuando aumenta n.
Cuando σ es desconocida y se estima con s, la distribución t tiene colas más pesadas que la normal. Esto refleja la incertidumbre adicional de estimar la desviación estándar.
La forma de t depende de los grados de libertad, habitualmente n − 1 para un intervalo de una media. Cuando n crece, t se aproxima a la normal estándar.
Si p̂ es la proporción observada, un intervalo aproximado puede escribirse como:
La aproximación debe revisarse cuando n es pequeño o p̂ está muy cerca de 0 o 1. En esas situaciones son preferibles métodos específicos, como Wilson o exactos.
Para una media con desviación conocida y margen E:
El resultado se redondea hacia arriba. Para proporciones, si no se conoce p, suele usarse p = 0,5 porque produce el tamaño más conservador para una confianza y margen dados.
Un intervalo estrecho comunica mayor precisión, pero no necesariamente mayor exactitud: un sesgo de selección puede producir un intervalo estrecho alrededor de un valor equivocado.
La precisión se relaciona con la variabilidad aleatoria; la validez depende además del diseño, la medición y la cobertura de la población.
Al comparar dos grupos se debe analizar directamente la diferencia o el cociente de interés, no solo mirar si dos intervalos individuales se superponen. La superposición visual no es una regla universal para decidir significancia.
Un intervalo para la diferencia comunica mejor tanto el tamaño como la incertidumbre de la comparación.
Ninguna fórmula corrige por sí sola una muestra sesgada.
Este ejemplo calcula un intervalo aproximado para una media con σ conocida y lo dibuja sobre una escala. El canvas aparece al ejecutar el bloque.
const datos = [68, 71, 73, 70, 75, 69, 74, 72, 76, 71];
const media = datos.reduce((suma, valor) => suma + valor, 0) / datos.length;
const desviacionPoblacional = 8;
const nivelConfianza = 0.95;
const valorCritico = 1.96;
const errorEstandar = desviacionPoblacional / Math.sqrt(datos.length);
const margen = valorCritico * errorEstandar;
const inferior = media - margen;
const superior = media + margen;
console.log('Media muestral:', media.toFixed(2));
console.log('Intervalo del 95 %:', '[' + inferior.toFixed(2) + ', ' + superior.toFixed(2) + ']');
if (typeof document !== 'undefined') {
const canvas = document.getElementById('canvasIntervalosCodigo');
const contexto = canvas.getContext('2d');
const escala = valor => 60 + (valor - 60) / 30 * 700;
contexto.clearRect(0, 0, canvas.width, canvas.height);
contexto.strokeStyle = '#c6b6df'; contexto.lineWidth = 2;
contexto.beginPath(); contexto.moveTo(60, 225); contexto.lineTo(760, 225); contexto.stroke();
contexto.strokeStyle = '#65468d'; contexto.lineWidth = 5;
contexto.beginPath(); contexto.moveTo(escala(inferior), 225); contexto.lineTo(escala(superior), 225); contexto.stroke();
contexto.fillStyle = '#543b7d'; contexto.beginPath(); contexto.arc(escala(media), 225, 9, 0, Math.PI * 2); contexto.fill();
}Los intervalos de confianza permiten comunicar estimaciones sin ocultar la incertidumbre del muestreo. Para usarlos correctamente hay que elegir el método según la variable y el diseño, informar el nivel de confianza, conservar las unidades y evaluar los supuestos. Un intervalo bien calculado es una herramienta de comunicación y decisión, no una garantía de ausencia de error.