4. Concepto de relación y función

4.1 Introducción

Para entender bien las funciones, primero conviene comprender el concepto de relación. Una relación matemática asocia elementos de un conjunto con elementos de otro conjunto.

Una función es un tipo especial de relación: cada entrada debe estar asociada con una única salida. Esta regla es fundamental en matemática y también en programación.

4.2 Qué es una relación

Una relación indica que existe algún vínculo entre valores. Por ejemplo, podemos relacionar estudiantes con materias, productos con precios, usuarios con permisos o números con sus cuadrados.

Una relación puede representarse mediante pares ordenados, tablas, gráficos, fórmulas o estructuras de datos.

4.3 Pares ordenados

Una forma común de representar una relación es usar pares ordenados. En un par (a, b), el primer valor suele representar la entrada y el segundo valor la salida.

Estos pares indican que 1 se relaciona con 2, 2 con 4 y 3 con 6.

4.4 Qué es una función

Una función es una relación en la que cada entrada tiene exactamente una salida. No puede ocurrir que la misma entrada tenga dos resultados distintos.

Esta condición permite que una función sea predecible: cuando conocemos la entrada, sabemos que existe un único resultado para esa regla.

4.5 Relación que sí es función

La siguiente relación sí cumple la condición de función, porque ninguna entrada aparece asociada con dos salidas diferentes.

4.6 Relación que no es función

La siguiente relación no es una función, porque la entrada 2 aparece con dos salidas diferentes.

Si una entrada puede devolver dos resultados distintos dentro de la misma relación, la relación no cumple la definición de función.

4.7 Una misma salida puede repetirse

Una función permite que entradas distintas produzcan la misma salida. La restricción va en sentido contrario: una misma entrada no puede tener varias salidas.

Por ejemplo, en f(x) = x², las entradas -2 y 2 producen la misma salida: 4. Aun así, sigue siendo una función.

4.8 Relaciones en programación

En programación, una relación puede representarse como una lista de pares, un arreglo de objetos, un mapa de claves y valores o una tabla en una base de datos.

const relacion = [
  { entrada: 1, salida: 3 },
  { entrada: 2, salida: 5 },
  { entrada: 3, salida: 7 }
];

console.log(relacion);

Esta estructura guarda asociaciones explícitas. Luego podemos analizar si esas asociaciones cumplen o no la condición de función.

4.9 Validar si una relación es función

Podemos escribir un algoritmo que revise si una entrada aparece asociada con más de una salida distinta.

function esFuncion(pares) {
  const salidasPorEntrada = new Map();

  for (const par of pares) {
    if (salidasPorEntrada.has(par.entrada) &&
        salidasPorEntrada.get(par.entrada) !== par.salida) {
      return false;
    }

    salidasPorEntrada.set(par.entrada, par.salida);
  }

  return true;
}

const pares = [
  { entrada: 1, salida: 2 },
  { entrada: 2, salida: 4 },
  { entrada: 2, salida: 5 }
];

console.log(esFuncion(pares));

El resultado es false, porque la entrada 2 tiene dos salidas diferentes.

4.10 Funciones definidas por fórmula

Cuando una función se define mediante una fórmula, la regla suele garantizar una salida para cada entrada permitida.

function sumarDiez(x) {
  return x + 10;
}

console.log(sumarDiez(4));
console.log(sumarDiez(20));

Para cada valor de x, la función devuelve un único resultado.

4.11 Diferencias clave

4.12 Qué debes recordar de este tema

• Una relación asocia entradas con salidas.
• Una función es una relación con una condición especial.
• En una función, cada entrada debe tener una única salida.
• Entradas distintas pueden producir la misma salida.
• Los pares ordenados permiten representar relaciones y funciones.
• En programación podemos validar relaciones usando estructuras de datos y algoritmos.

4.13 Conclusión

El concepto de relación es más amplio que el concepto de función. Una función aparece cuando esa relación cumple una regla precisa: cada entrada se asocia con una sola salida.

En el próximo tema veremos el dominio de una función, es decir, el conjunto de valores de entrada para los cuales la función está definida.