54. Dominio e imagen de funciones inversas

En una función inversa, el dominio y la imagen intercambian sus roles respecto de la función original.

54.1 Introducción

Al estudiar funciones inversas no alcanza con obtener una fórmula. También es necesario saber qué valores puede recibir la inversa y qué valores puede devolver.

Esto se expresa con el dominio y la imagen. En las funciones inversas, estos conjuntos se intercambian.

54.2 Regla principal

Si una función f tiene una inversa f⁻¹, entonces el dominio de la inversa es la imagen de la función original.

Dominio de f⁻¹ = imagen de f Imagen de f⁻¹ = dominio de f

Esto ocurre porque la inversa recibe como entrada valores que antes eran salidas.

54.3 Intercambio de roles

Si la función original transforma x en y, la inversa transforma y en x.

f: x → y f⁻¹: y → x

Por eso los valores de entrada y salida cambian de lugar.

54.4 Ejemplo con función lineal

La función f(x) = 2x + 3 acepta cualquier número real y también puede producir cualquier número real.

Función Dominio Imagen
f(x) = 2x + 3 Todos los reales Todos los reales
f⁻¹(x) = (x - 3) / 2 Todos los reales Todos los reales

54.5 Código con función lineal

En este caso no se necesitan controles de dominio porque ambas funciones aceptan cualquier número.

function f(x) {
  return 2 * x + 3;
}

function inversa(y) {
  return (y - 3) / 2;
}

console.log(f(-10));
console.log(f(0));
console.log(inversa(100));

54.6 Ejemplo con función exponencial

La función exponencial f(x) = 2ˣ acepta todos los reales, pero solo produce valores positivos.

Dominio de f: todos los reales Imagen de f: x > 0

Su inversa, el logaritmo en base 2, solo puede recibir valores positivos.

54.7 Dominio e imagen de exponencial y logaritmo

Función Dominio Imagen
f(x) = 2ˣ Todos los reales x > 0
f⁻¹(x) = log₂(x) x > 0 Todos los reales

54.8 Código con restricción positiva

La inversa logarítmica debe validar que la entrada sea positiva.

function exponencialBase2(x) {
  return Math.pow(2, x);
}

function logBase2(x) {
  if (x <= 0) {
    return "Fuera del dominio";
  }

  return Math.log(x) / Math.log(2);
}

console.log(exponencialBase2(4));
console.log(logBase2(16));
console.log(logBase2(-5));

54.9 Ejemplo con raíz cuadrada

Si restringimos la función cuadrática a x ≥ 0, su inversa es la raíz cuadrada.

f(x) = x², con x ≥ 0 f⁻¹(x) = √x

El dominio y la imagen de ambas funciones quedan intercambiados, pero en este caso los dos son valores no negativos.

54.10 Dominio e imagen de cuadrática restringida

Función Dominio Imagen
f(x) = x², x ≥ 0 x ≥ 0 x ≥ 0
f⁻¹(x) = √x x ≥ 0 x ≥ 0

54.11 Código con raíz cuadrada

function cuadraticaNoNegativa(x) {
  if (x < 0) {
    return "Fuera del dominio";
  }

  return x * x;
}

function raizInversa(x) {
  if (x < 0) {
    return "Fuera del dominio";
  }

  return Math.sqrt(x);
}

console.log(cuadraticaNoNegativa(5));
console.log(raizInversa(25));
console.log(raizInversa(-4));

54.12 Funciones sin inversa y dominio

Si una función no es uno a uno, su inversa no queda bien definida hasta que se restringe el dominio.

f(x) = x² en todos los reales no tiene inversa como función.

El problema es que una misma salida puede venir de dos entradas distintas.

54.13 Detectar salidas repetidas

Este ejemplo muestra cómo dos entradas distintas generan la misma salida.

function cuadratica(x) {
  return x * x;
}

const salidaA = cuadratica(3);
const salidaB = cuadratica(-3);

console.log(salidaA);
console.log(salidaB);
console.log(salidaA === salidaB);

54.14 Imagen como rango de valores posibles

La imagen de una función indica qué salidas puede producir. Esa información se vuelve esencial al construir la inversa.

Si una función nunca produce valores negativos, entonces su inversa no debería aceptar valores negativos como entrada.

La inversa solo debe recibir valores que la función original podía producir.

54.15 Validar entradas según la imagen original

La validación de una inversa suele basarse en la imagen de la función original.

function inversaDeCuadraticaNoNegativa(salidaOriginal) {
  if (salidaOriginal < 0) {
    return "La función original no produce ese valor";
  }

  return Math.sqrt(salidaOriginal);
}

console.log(inversaDeCuadraticaNoNegativa(49));
console.log(inversaDeCuadraticaNoNegativa(-49));

54.16 Coordenadas de pantalla y dominio

Cuando convertimos coordenadas matemáticas a pantalla, la inversa debe aceptar solo puntos de pantalla que tengan sentido dentro del área considerada.

function pixelAValor(pixel, ancho) {
  if (pixel < 0 || pixel > ancho) {
    return "Fuera del área visible";
  }

  return pixel / ancho;
}

console.log(pixelAValor(200, 400));
console.log(pixelAValor(500, 400));

54.17 Conversiones de rangos

En un mapeo entre rangos, el dominio y la imagen también se intercambian al invertir la conversión.

function mapear(valor, entradaMin, entradaMax, salidaMin, salidaMax) {
  const proporcion = (valor - entradaMin) / (entradaMax - entradaMin);
  return salidaMin + proporcion * (salidaMax - salidaMin);
}

const pixel = mapear(25, 0, 100, 0, 400);
const valor = mapear(pixel, 0, 400, 0, 100);

console.log(pixel);
console.log(valor);

54.18 Resumen visual

Función original Dominio original Imagen original Dominio de la inversa Imagen de la inversa
2x + 3 Reales Reales Reales Reales
2ˣ Reales x > 0 x > 0 Reales
x² con x ≥ 0 x ≥ 0 x ≥ 0 x ≥ 0 x ≥ 0

54.19 Aplicaciones en programación

  • Validar entradas antes de aplicar una función inversa.
  • Evitar valores imposibles en conversiones y gráficos.
  • Diseñar controles que convierten de píxeles a valores reales.
  • Definir rangos permitidos en formularios o simulaciones.
  • Detectar cuándo una transformación perdió información.

54.20 Errores comunes

  • Calcular una fórmula inversa sin revisar dominio e imagen.
  • Permitir entradas que la función original nunca podía producir.
  • Olvidar restringir el dominio en funciones no uno a uno.
  • Suponer que la inversa siempre acepta todos los reales.
  • No validar valores antes de usar raíces o logaritmos.

54.21 Qué debes recordar de este tema

  • El dominio de una inversa es la imagen de la función original.
  • La imagen de una inversa es el dominio de la función original.
  • La inversa recibe como entrada valores que antes eran salidas.
  • Las restricciones de dominio pueden ser necesarias para que exista una inversa.
  • En programación, dominio e imagen se traducen en validaciones y rangos permitidos.

54.22 Conclusión

El dominio y la imagen son fundamentales para usar funciones inversas correctamente. Una fórmula inversa solo es confiable si se conocen los valores que puede recibir y devolver. Esta idea evita errores matemáticos y también errores prácticos en programas que transforman datos.

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