11. Rectas paralelas y perpendiculares

Las rectas paralelas conservan una misma dirección; las perpendiculares se cortan formando un ángulo recto. Sus pendientes permiten reconocer estas relaciones y construirlas de manera precisa.

11.1 Introducción

La relación entre dos rectas no depende solo de si se cruzan dentro de la zona visible. Sus direcciones determinan si mantienen una separación constante, si forman un ángulo de 90 grados o si no cumplen ninguna de esas condiciones especiales.

Estas ideas se aplican al construir cuadrículas, bordes, esquinas, cámaras, trayectorias y herramientas de dibujo.

11.2 Comparación visual

Dos rectas paralelas en un plano cartesiano y dos pares de rectas perpendiculares marcados con ángulos rectos
Las paralelas comparten dirección; las perpendiculares forman ángulos rectos.

11.3 Rectas paralelas

Dos rectas distintas son paralelas si nunca se cruzan, aunque se prolonguen indefinidamente. Poseen la misma dirección y una distancia constante entre ellas.

m₁ = m₂ y b₁ ≠ b₂

En la forma y = mx + b, la igualdad de pendientes indica direcciones iguales. Las distintas intersecciones verticales impiden que se trate de la misma recta.

11.4 Rectas coincidentes

Si las pendientes y las intersecciones son iguales, las rectas no son paralelas distintas: son coincidentes. Comparten todos sus puntos.

m₁ = m₂ y b₁ = b₂ → misma recta

Distinguir ambos casos evita informar erróneamente que dos trazos separados existen cuando en realidad representan el mismo objeto geométrico.

11.5 Rectas perpendiculares

Dos rectas son perpendiculares cuando se cruzan formando cuatro ángulos rectos. Un pequeño cuadrado en el vértice suele señalar un ángulo de 90°.

ángulo entre las rectas = 90°

Un ejemplo inmediato es el eje x con el eje y. También una vertical y una horizontal siempre son perpendiculares.

11.6 Pendientes recíprocas negativas

Cuando ninguna recta es vertical, la perpendicularidad se expresa con una regla simple:

m₁ × m₂ = −1
m₂ = −1 / m₁

Si una recta tiene pendiente 2, una perpendicular tiene pendiente −1/2. Si una tiene pendiente −3, la otra tiene pendiente 1/3.

11.7 Casos horizontal y vertical

La regla del producto no se aplica directamente cuando una pendiente no está definida. Una recta horizontal tiene m = 0 y una vertical no tiene pendiente numérica; juntas forman siempre un ángulo recto.

Primera rectaPerpendicular
HorizontalVertical
VerticalHorizontal
Pendiente m distinta de 0Pendiente −1/m

11.8 Ejemplo

Consideremos y = 2x + 1. Una recta paralela puede ser y = 2x − 4. Una recta perpendicular debe tener pendiente −1/2; por ejemplo, y = −0,5x + 3.

paralela: m = 2
perpendicular: m = −1/2

El término independiente puede variar libremente y desplaza la recta sin cambiar su dirección.

11.9 Simulación interactiva: compara direcciones

Modifica las pendientes y observa la relación. Usa los botones para construir una segunda recta paralela o perpendicular a la primera, y prueba también una recta vertical.

Recta 1y = x
Recta 2y = −x + 1
RelaciónPerpendiculares · 90°

11.10 Comprobar relaciones en JavaScript

function sonParalelas(m1, m2, tolerancia = 1e-9) {
  return Math.abs(m1 - m2) < tolerancia;
}

function sonPerpendiculares(m1, m2, tolerancia = 1e-9) {
  return Math.abs(m1 * m2 + 1) < tolerancia;
}

console.log(sonParalelas(2, 2));
console.log(sonPerpendiculares(2, -0.5));

Estas funciones sirven para pendientes finitas. Los casos verticales requieren una representación adicional, por ejemplo un tipo de recta independiente.

11.11 Ángulo entre dos rectas

La perpendicularidad es un caso particular: el ángulo menor entre las direcciones vale 90°. Si conocemos las pendientes, el ángulo θ puede calcularse mediante:

tan(θ) = |(m₂ − m₁) / (1 + m₁m₂)|

Cuando m₁m₂ = −1, el denominador es cero y θ es 90°. Más adelante estudiaremos los ángulos y el producto escalar con mayor profundidad.

11.12 Aplicaciones en gráficos 2D

  • Construir cuadrículas y ejes de referencia.
  • Dibujar esquinas rectangulares y marcos.
  • Generar normales perpendiculares a superficies.
  • Crear calles, carriles y guías que no se cruzan.
  • Alinear cámaras y objetos sobre direcciones conocidas.
  • Resolver reflejos y rebotes contra paredes.
  • Verificar restricciones geométricas en editores de dibujo.

11.13 Errores comunes

  • Considerar paralelas a dos rectas coincidentes.
  • Usar m₂ = 1 / m₁ en vez de −1 / m₁ para una perpendicular.
  • Aplicar la regla del producto a una recta vertical.
  • Confundir intersección visible con dirección geométrica.
  • Comparar pendientes decimales sin tolerancia.
  • Olvidar que b modifica posición, no dirección.
  • Asumir que dos rectas que parecen paralelas en píxeles lo son matemáticamente.

11.14 Qué debes recordar de este tema

  • Las rectas paralelas distintas tienen igual pendiente y diferente intersección.
  • Las rectas coincidentes representan exactamente el mismo conjunto de puntos.
  • Las rectas perpendiculares se cruzan con un ángulo de 90°.
  • Para pendientes finitas, m₁m₂ = −1 indica perpendicularidad.
  • Horizontal y vertical forman siempre un par perpendicular.
  • La pendiente controla dirección; la intersección controla posición.
  • Una tolerancia evita errores al trabajar con decimales.

11.15 Conclusión

Paralelismo y perpendicularidad son relaciones de dirección. Las pendientes permiten identificarlas de forma rápida y construir nuevos trazos con restricciones geométricas claras.

En el próximo tema comenzaremos a trabajar con vectores en dos dimensiones, una herramienta que generaliza el desplazamiento y la dirección.

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