19. Proyección de vectores
Proyectar un vector sobre otro permite medir cuánto de un movimiento actúa en una dirección determinada. Esta operación separa componentes paralelas y perpendiculares, una idea esencial para colisiones, físicas y desplazamientos sobre superficies.
19.1 Introducción
Imagina una pelota que golpea una pared inclinada. Su velocidad puede dividirse en una parte paralela a la pared y otra perpendicular. La parte perpendicular determina el impacto; la paralela describe cuánto continúa deslizándose.
La proyección realiza precisamente esa separación. Recibe un vector que queremos analizar y una dirección de referencia sobre la cual mediremos su contribución.
19.2 La idea de proyectar
Proyectar v sobre u equivale a iluminar v perpendicularmente hacia la recta que contiene a u. La «sombra» obtenida sobre esa recta es la proyección de v.
La proyección siempre es paralela a u. Puede apuntar en el mismo sentido, en sentido contrario o ser el vector nulo.
19.3 Proyección escalar
La proyección escalar es un número con signo. Indica cuántas unidades de v avanzan en la dirección unitaria de u:
Si u ya está normalizado, |u|=1 y la fórmula se reduce a v·u. Un resultado positivo indica el mismo sentido; uno negativo, sentido opuesto; cero significa perpendicularidad.
19.4 Proyección vectorial
La proyección vectorial agrega la dirección a la cantidad anterior. Su fórmula general es:
El cociente es un escalar. Al multiplicarlo por u obtenemos un vector paralelo a la referencia. La división por |u|² hace que el resultado no dependa de la longitud elegida para representar esa dirección.
19.5 Interpretación geométrica
La línea desde la punta de v hasta la proyección forma 90° con u. Esto permite comprobar visualmente que la diferencia v−proyu(v) es perpendicular a la dirección de referencia.
19.6 Ejemplo paso a paso
Sean v=(3,4) y u=(4,1), como en el gráfico anterior. Primero calculamos v·u=16 y |u|²=17:
proyu(v) = (64/17,16/17) ≈ (3.76,0.94)
La componente perpendicular es v−proyu(v)=(−13/17,52/17) ≈ (−0.76,3.06). El producto escalar entre esta componente y u es cero, lo que confirma que ambos vectores son perpendiculares.
19.7 Usar un vector unitario
Si n es unitario, proyectar resulta más simple:
Esta forma es frecuente en motores gráficos, donde normales de superficies y direcciones importantes se almacenan normalizadas. Aun así, conviene que las funciones generales acepten referencias no normalizadas.
19.8 Signo y casos especiales
| Producto v·u | Proyección | Interpretación |
|---|---|---|
| > 0 | Mismo sentido que u | v avanza en la dirección de u |
| = 0 | Vector nulo | v es perpendicular a u |
| < 0 | Sentido contrario a u | v retrocede respecto de u |
El vector de referencia u no puede ser nulo porque |u|² aparecería como divisor. Una implementación debe comprobar este caso.
19.9 Descomposición paralela y perpendicular
Todo vector v puede separarse respecto de una dirección u en dos componentes:
vperpendicular = v − vparalela
v = vparalela + vperpendicular
La primera sigue la dirección de u y la segunda forma 90° con u. Esta descomposición conserva exactamente el vector original.
19.10 Simulación interactiva: proyecta un vector
Modifica v y u. La simulación muestra la proyección en amarillo, la componente perpendicular con una línea discontinua y el signo de la componente escalar.
19.11 Proyectar en JavaScript
function proyectar(v, sobre) {
const denominador = sobre.x ** 2 + sobre.y ** 2;
if (denominador === 0) return null;
const factor = (v.x * sobre.x + v.y * sobre.y)
/ denominador;
return {
x: factor * sobre.x,
y: factor * sobre.y
};
}
const v = { x: 3, y: 4 };
const sobre = { x: 4, y: 1 };
const proyeccion = proyectar(v, sobre);
console.log(proyeccion);
// { x: 3.764705882352941, y: 0.9411764705882353 }Al ejecutar el código se muestra la proyección de v sobre sobre: aproximadamente { x: 3.76, y: 0.94 }. La función devuelve null si la dirección base es nula. Otra estrategia válida es lanzar un error o devolver (0,0), pero la decisión debe quedar documentada.
19.12 Aplicaciones en gráficos y videojuegos
- Colisiones: separar velocidad normal y tangencial respecto de una superficie.
- Deslizamiento: eliminar el componente que empuja contra una pared.
- Sombras: proyectar puntos o vectores sobre una línea.
- Cámaras: medir cuánto se mueve un objetivo hacia delante o hacia un lado.
- Controles: convertir un desplazamiento a ejes locales del personaje.
- Física: calcular trabajo, velocidad radial o respuesta a impactos.
- SAT: proyectar polígonos sobre ejes para detectar separaciones.
Animación de una colisión
Al tocar la pared, la velocidad se separa en una componente tangencial, que se conserva, y otra normal, que invierte su sentido para producir el rebote.
19.13 Errores comunes
- Intercambiar el vector proyectado y el vector base.
- Dividir por |u| en vez de por |u|² en la proyección vectorial.
- Suponer que u está normalizado cuando no lo está.
- No tratar el vector base nulo.
- Eliminar el signo de la proyección escalar usando valor absoluto.
- Confundir la proyección escalar, que es un número, con la vectorial.
- Creer que la componente perpendicular es siempre una normal unitaria.
19.14 Qué debes recordar y conclusión
- La proyección mide la parte de v alineada con u.
- La proyección escalar tiene signo y expresa una longitud orientada.
- proyu(v)=((v·u)/|u|²)u.
- Si u es unitario, la fórmula se reduce a (v·u)u.
- v se descompone en una parte paralela y otra perpendicular.
- Una proyección negativa apunta en sentido contrario a u.
La proyección convierte una relación geométrica en componentes utilizables por el programa. Permite analizar un movimiento desde el punto de vista de una superficie, un eje local o cualquier dirección relevante.
En el próximo tema estudiaremos ángulos, grados y radianes para expresar orientaciones y giros.