22. Seno, coseno y tangente

22.1 Introducción

Las funciones trigonométricas no son números reservados para triángulos de papel. Son relaciones que se repiten para cada ángulo y conectan una orientación con sus componentes horizontal y vertical.

Seno y coseno permanecen entre −1 y 1, por lo que resultan ideales para direcciones y oscilaciones. La tangente expresa una razón entre ambas componentes y se relaciona directamente con la pendiente.

22.2 Razones en un triángulo rectángulo

Respecto de un ángulo agudo θ distinguimos hipotenusa, cateto opuesto y cateto adyacente.

Estas razones no dependen del tamaño del triángulo. Dos triángulos con el mismo ángulo son semejantes y producen los mismos valores.

22.3 Seno: componente vertical

En el círculo unitario, sen θ es la coordenada y del punto alcanzado por el ángulo. Vale 0 sobre el eje x, alcanza 1 arriba y −1 abajo.

Multiplicar el seno por una longitud r produce la componente vertical de un radio. Variarlo con el tiempo genera una oscilación suave.

22.4 Coseno: componente horizontal

Cos θ es la coordenada x en el círculo unitario. Vale 1 hacia la derecha, 0 sobre el eje y y −1 hacia la izquierda.

Seno y coseno describen simultáneamente la punta de un vector unitario: (cos θ, sen θ). Sus cuadrados siempre suman uno.

22.5 Tangente: inclinación

La tangente es el cociente entre seno y coseno:

También coincide con la pendiente de una recta que forma el ángulo θ con el eje x. No está definida cuando cos θ=0, es decir, en 90°+k·180°, porque allí la dirección es vertical.

22.6 Interpretación en el círculo unitario

La tangente también puede representarse sobre la recta x=1. Al prolongar el radio del ángulo hasta esa recta, la altura alcanzada es tan θ.

22.7 Valores notables

Memorizar estos valores ayuda, pero comprender el círculo permite reconstruirlos y determinar sus signos.

22.8 Signos por cuadrante

Los signos se deducen de las coordenadas: seno toma el signo de y, coseno el de x y tangente el del cociente y/x.

22.9 Periodicidad y simetrías

Seno y coseno repiten sus valores cada 2π. La tangente se repite cada π.

Además, sen(−θ)=−sen θ, cos(−θ)=cos θ y tan(−θ)=−tan θ. Estas simetrías ayudan a razonar sobre ángulos negativos.

22.10 Simulación interactiva: compara las tres funciones

Modifica θ. El círculo muestra las proyecciones y el panel inferior presenta los valores numéricos. La gráfica lateral marca la posición correspondiente en un ciclo.

22.11 Uso en JavaScript

const grados = 45;
const angulo = grados * Math.PI / 180;

const seno = Math.sin(angulo);
const coseno = Math.cos(angulo);
const tangente = Math.tan(angulo);

const direccion = { x: coseno, y: seno };

console.log(`Seno: ${seno.toFixed(3)}`);
console.log(`Coseno: ${coseno.toFixed(3)}`);
console.log(`Tangente: ${tangente.toFixed(3)}`);
console.log(`Dirección: (${direccion.x.toFixed(3)}, ${direccion.y.toFixed(3)})`);

Los resultados de punto flotante son aproximados. Por ejemplo, sen π puede aparecer como un número diminuto distinto de cero debido a la representación binaria.

22.12 Aplicaciones en gráficos 2D

• Dirección: (cos θ, sen θ) orienta un movimiento.
• Órbitas: radio por seno y coseno produce posiciones circulares.
• Oscilación: seno genera vaivén, pulsos y flotación.
• Pendiente: tan θ expresa la inclinación de una dirección.
• Rotación: seno y coseno forman las ecuaciones y matrices de giro.
• Ondas: amplitud, frecuencia y fase controlan patrones repetitivos.
• Campos de visión: ángulos y productos escalares determinan límites direccionales.

Ejemplo animado: planetas alrededor del Sol

Cada planeta tiene su propio radio y velocidad angular. En cada cuadro, su posición se calcula con x=cx+r·cos(θ) e y=cy+r·sen(θ).

22.13 Errores comunes

• Pasar grados directamente a las funciones Math.
• Usar seno para x y coseno para y sin que esa sea la convención elegida.
• Esperar que la tangente exista en 90° o 270°.
• Confundir tan θ con el propio ángulo.
• Comparar resultados flotantes mediante igualdad exacta.
• Olvidar invertir y al trasladar resultados matemáticos a pantalla.
• Usar tangentes enormes cerca de una dirección vertical sin limitar el resultado.

22.14 Qué debes recordar y conclusión

• sen θ es la componente vertical del círculo unitario.
• cos θ es la componente horizontal.
• tan θ=sen θ/cos θ y representa pendiente.
• Seno y coseno están entre −1 y 1.
• La tangente no está definida cuando cos θ=0.
• Las funciones JavaScript reciben radianes.
• Los signos dependen del cuadrante.

Seno, coseno y tangente son distintas miradas sobre el mismo ángulo. Al dominar sus relaciones podemos transformar orientaciones en componentes y construir movimientos suaves, periódicos y predecibles.

En el próximo tema utilizaremos ángulos para controlar directamente el movimiento de objetos.