32. Polígonos regulares

32.1 Introducción

Un polígono regular tiene todos sus lados y todos sus ángulos interiores iguales. El triángulo equilátero y el cuadrado son los ejemplos más conocidos, pero la definición se extiende a cualquier n≥3.

Sus vértices pertenecen a una misma circunferencia y están separados por ángulos centrales iguales. Por ello resulta natural generarlos mediante trigonometría.

32.2 Elementos fundamentales

• Centro C: punto equidistante de todos los vértices y lados.
• Radio circunscrito R: distancia del centro a un vértice.
• Apotema a: distancia perpendicular del centro a un lado.
• Lado l: distancia entre vértices consecutivos.
• Ángulo central θ: ángulo entre dos radios consecutivos.

El punto donde termina el apotema es el punto medio del lado correspondiente.

32.3 Interpretación visual

32.4 Ángulos centrales, interiores y exteriores

En un hexágono regular, θ=60° y cada ángulo interior mide 120°. La suma de los ángulos exteriores, tomando uno por vértice y el mismo sentido, siempre es 360°.

32.5 Construcción mediante trigonometría

Para centro C=(cx,cy), radio R, rotación inicial φ y vértice i:

En pantalla puede utilizarse yᵢ=cy−R·sen θᵢ para conservar el sentido matemático positivo. Cambiar φ rota todo el polígono sin alterar su forma.

32.6 Longitud del lado

El lado es una cuerda de la circunferencia circunscrita. Al dividir el triángulo central en dos:

Para un hexágono regular, sen(π/6)=1/2 y por tanto l=R. Al aumentar n con R fijo, cada lado se hace más corto.

32.7 Apotema y radio inscrito

El apotema coincide con el radio de la circunferencia inscrita, tangente a todos los lados:

Siempre se cumple 0<a<R. A medida que n crece, el apotema se acerca al radio circunscrito.

32.8 Perímetro y área

La fórmula P·a/2 suma las áreas de los n triángulos con base l y altura a. Para un cuadrado de lado l, a=l/2 y se recupera A=l².

32.9 De un dato a los demás

Con n y cualquiera de estas medidas positivas se determina por completo el polígono regular.

32.10 Simetrías y aproximación al círculo

Un polígono regular de n lados posee n ejes de simetría y simetría rotacional cada 360°/n. Su centro coincide con el centroide, incentro y circuncentro.

Cuando n aumenta manteniendo R fijo, el contorno se aproxima a la circunferencia: el perímetro tiende a 2πR y el área tiende a πR². En gráficos, esta propiedad permite aproximar círculos mediante segmentos.

32.11 Simulación interactiva

Modifica el número de lados, el radio y la rotación. Puedes mostrar la circunferencia circunscrita, la inscrita y la triangulación desde el centro.

32.12 Generar los vértices

function poligonoRegular(cx,cy,radio,n,rotacion=0){
  return Array.from({length:n},(_,i)=>{
    const angulo=rotacion+i*2*Math.PI/n;
    return {
      x:cx+radio*Math.cos(angulo),
      y:cy+radio*Math.sin(angulo)
    };
  });
}

const vertices = poligonoRegular(0, 0, 5, 6);
vertices.forEach((p, i) => {
  console.log(`V${i}: (${p.x.toFixed(2)}, ${p.y.toFixed(2)})`);
});

Al presionar Ejecutar, se muestran los seis vértices de un hexágono regular. La primera y última posición no se repiten en la lista.

32.13 Calcular las medidas

const n = 6;
const radio = 5;
const angulo=Math.PI/n;
const lado=2*radio*Math.sin(angulo);
const apotema=radio*Math.cos(angulo);
const perimetro=n*lado;
const area=perimetro*apotema/2;

console.log(`Lados: ${n}`);
console.log(`Ángulo central: ${(360/n).toFixed(2)}°`);
console.log(`Lado: ${lado.toFixed(2)}`);
console.log(`Apotema: ${apotema.toFixed(2)}`);
console.log(`Perímetro: ${perimetro.toFixed(2)}`);
console.log(`Área: ${area.toFixed(2)}`);

Al presionar Ejecutar, se muestran todas las medidas del hexágono sin depender de un sistema de dibujo.

32.14 Aplicaciones, errores y conclusión

Los polígonos regulares aparecen en iconos, fichas, ruedas, menús radiales, proyectiles, escudos, mosaicos, partículas y aproximaciones circulares.

Ejemplo animado: caleidoscopio de polígonos regulares

Varias coronas de polígonos rotan a velocidades distintas y forman un mosaico radial. La figura central aumenta gradualmente su número de lados para mostrar cómo un polígono regular se aproxima a una circunferencia.

Errores comunes

• Usar grados directamente en seno y coseno de JavaScript.
• Dividir la vuelta entre n−1 en vez de n.
• Confundir radio R con apotema a.
• Repetir el primer vértice al calcular perímetro y volver a cerrar la lista.
• Suponer que todo polígono equilátero es regular; también debe ser equiángulo.
• Usar pocos lados para representar un círculo grande y esperar un borde suave.

Recuerda: los vértices están separados por 2π/n; l=2R sen(π/n); a=R cos(π/n); y el área vale P·a/2.

En el próximo tema reuniremos técnicas para calcular perímetros y áreas de distintas figuras.