33. Cálculo de perímetros y áreas

33.1 Introducción

Medir una figura significa asociarle una cantidad. Para el contorno usamos el perímetro o longitud; para el interior usamos el área. Aunque ambos dependen del tamaño, responden preguntas diferentes.

En programación aparecen al calcular longitudes de recorridos, cantidad de pintura, superficies de selección, probabilidades espaciales, zonas de daño y coste de procesar una región.

33.2 Perímetro, área y unidades

Nunca deben sumarse directamente cantidades con unidades incompatibles. Un resultado de área necesita unidades cuadradas.

33.3 Interpretación visual

33.4 Tabla de fórmulas fundamentales

Antes de sustituir valores, conviene identificar qué representa cada dato y comprobar que todas las longitudes usan la misma unidad.

33.5 Rectángulos y cuadrados

Un rectángulo de 8×5 tiene perímetro 26 y área 40. El perímetro suma los cuatro lados; multiplicar 8×5 para obtenerlo sería confundir superficie con borde.

Si se conocen área y ancho, el alto es h=A/w. Si se conocen perímetro y ancho, h=P/2−w.

33.6 Triángulos

La altura debe ser perpendicular a la base elegida. Para un triángulo rectángulo, los catetos pueden actuar como base y altura. Con coordenadas, el área se obtiene mediante un determinante.

33.7 Círculos, sectores y elipses

En las fórmulas de sector, θ debe estar en radianes. El perímetro de una elipse requiere aproximación; no debe tratarse como un círculo usando simplemente el promedio de sus semiejes.

33.8 Polígonos regulares e irregulares

Para un polígono regular conocemos una medida repetida:

Para un polígono irregular sumamos distancias para el perímetro y usamos la fórmula del cordón para el área:

33.9 Figuras compuestas y regiones con huecos

Una figura compuesta puede dividirse en piezas conocidas. Si no se superponen, su área total es la suma de las áreas. También puede completarse una figura grande y restar las partes ausentes.

Para el perímetro solo se cuentan bordes expuestos. Los lados compartidos entre piezas no pertenecen al contorno exterior. Si un hueco forma parte de la frontera de la región, su borde sí contribuye al perímetro total.

33.10 Escalado y semejanza

Si todas las longitudes se multiplican por un factor k:

Duplicar una figura duplica su perímetro y cuadruplica su área. Con escalado distinto kx,ky, el área se multiplica por |kx·ky|, mientras que el perímetro no posee una regla única tan sencilla.

33.11 Precisión, píxeles y aproximación

Las coordenadas pueden ser decimales aunque la pantalla use una cuadrícula de píxeles. Conviene conservar toda la precisión durante los cálculos y redondear solamente al mostrar el resultado.

Un contorno curvo aproximado mediante segmentos tiene perímetro dependiente de la resolución. Aumentar la cantidad de segmentos mejora la aproximación, pero incrementa el coste de procesamiento.

33.12 Simulación interactiva

Elige una figura y modifica sus dimensiones. El laboratorio muestra visualmente el borde y el interior, además de calcular perímetro y área con las unidades correctas.

33.13 Funciones reutilizables

const medidas = {
  rectangulo: (w,h) => ({
    perimetro: 2*(w+h), area: w*h
  }),
  circulo: r => ({
    perimetro: 2*Math.PI*r,
    area: Math.PI*r*r
  }),
  triangulo: (a,b,c,base,altura) => ({
    perimetro: a+b+c,
    area: base*altura/2
  })
};

const rectangulo = medidas.rectangulo(6, 4);
const circulo = medidas.circulo(3);
const triangulo = medidas.triangulo(3, 4, 5, 4, 3);

console.log(`Rectángulo 6 × 4: P=${rectangulo.perimetro.toFixed(2)}, A=${rectangulo.area.toFixed(2)}`);
console.log(`Círculo de radio 3: P=${circulo.perimetro.toFixed(2)}, A=${circulo.area.toFixed(2)}`);
console.log(`Triángulo 3-4-5: P=${triangulo.perimetro.toFixed(2)}, A=${triangulo.area.toFixed(2)}`);

Al presionar Ejecutar, se muestran el perímetro y el área de las tres figuras. Devolver un objeto con nombres explícitos reduce el riesgo de intercambiar ambas medidas.

function escalarMedidas(medidas,k) {
  return {
    perimetro: Math.abs(k)*medidas.perimetro,
    area: k*k*medidas.area
  };
}

const originales = { perimetro: 20, area: 24 };
const escala = 3;
const escaladas = escalarMedidas(originales, escala);

console.log(`Escala: ${escala}`);
console.log(`Perímetro original: ${originales.perimetro}`);
console.log(`Perímetro escalado: ${escaladas.perimetro}`);
console.log(`Área original: ${originales.area}`);
console.log(`Área escalada: ${escaladas.area}`);

Al presionar Ejecutar, se comprueba que al escalar por 3 el perímetro se multiplica por 3 y el área por 9.

33.14 Errores comunes y conclusión

• Confundir perímetro con área o sus unidades.
• Usar diámetro donde la fórmula requiere radio.
• Contar bordes internos al hallar el perímetro de una composición.
• Sumar áreas superpuestas sin restar la intersección.
• Aplicar grados en fórmulas que esperan radianes.
• Redondear valores intermedios demasiado pronto.
• Olvidar que una escala k multiplica el área por k².

Recuerda: identifica primero qué región o borde se mide, conserva unidades coherentes, descompón figuras complejas y valida el resultado mediante una estimación razonable.

En el próximo tema comenzaremos con las transformaciones geométricas 2D.