Matemática para Gráficos 2D - 6. Punto medio de un segmento

6.1 Introducción

Si conocemos los extremos A y B de un segmento, podemos encontrar una posición equidistante de ambos. Esa posición es el punto medio. No depende de la orientación del segmento: funciona igual si es horizontal, vertical o diagonal.

En gráficos 2D aparece al centrar una etiqueta, colocar un control entre dos extremos, calcular el centro de una diagonal o dividir una trayectoria en dos partes iguales.

6.2 La idea de estar a mitad de camino

El punto medio M pertenece al segmento AB y cumple que la distancia desde A hasta M es igual a la distancia desde M hasta B.

Segmento con dos extremos y un punto medio resaltado, marcas de igualdad y una balanza que representa equilibrio — El punto medio divide el segmento en dos partes de la misma longitud.

distancia(A, M) = distancia(M, B)

6.3 El promedio en una dimensión

Antes de trabajar en el plano, consideremos dos posiciones sobre una recta: 2 y 8. El valor situado a mitad de camino se obtiene sumándolas y dividiendo por dos:

medio = (2 + 8) / 2 = 5

Desde 2 hasta 5 hay 3 unidades y desde 5 hasta 8 también. Este mismo razonamiento se aplica por separado a las coordenadas x e y.

6.4 Fórmula del punto medio

Dados A = (x₁, y₁) y B = (x₂, y₂), promediamos sus coordenadas correspondientes:

M = ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2)

La coordenada x de M está a mitad de camino entre las coordenadas x de los extremos. Lo mismo ocurre con y.

6.5 Ejemplo paso a paso

Calculemos el punto medio entre A = (2, 1) y B = (8, 5):

Mx = (2 + 8) / 2 = 5
My = (1 + 5) / 2 = 3
M = (5, 3)

El desplazamiento de A a M es (3, 2) y el de M a B también es (3, 2). Por eso M divide el segmento exactamente en dos.

6.6 Coordenadas negativas y decimales

La fórmula funciona sin cambios con cualquier número real. Por ejemplo, entre A = (−5, 2) y B = (2, −3):

Mx = (−5 + 2) / 2 = −1,5
My = (2 − 3) / 2 = −0,5
M = (−1,5; −0,5)

El punto medio no tiene que poseer coordenadas enteras, aunque ambos extremos sí las tengan. Conservar los decimales evita perder precisión.

6.7 Simulación interactiva: encuentra el centro

Arrastra A o B. M se recalcula automáticamente y las dos mitades muestran siempre la misma longitud. Utiliza el control de posición para comparar el punto medio con otros puntos del segmento.

Posición sobre AB: 50 %

ExtremosA(−5, −2) · B(5, 4)

Punto calculadoM = (0, 1)

LongitudesAM = 5,83 · MB = 5,83

RelaciónPartes iguales

Con el control en 50 %, el punto amarillo es M. Al cambiar el porcentaje aparece un punto general P que divide el segmento en partes diferentes. Intercambiar A y B conserva M, aunque invierte el recorrido del control.

6.8 Cálculo en JavaScript

Una función puede devolver un nuevo objeto sin modificar los extremos originales:

function puntoMedio(a, b) {
  return {
    x: (a.x + b.x) / 2,
    y: (a.y + b.y) / 2
  };
}

const a = { x: 2, y: 1 };
const b = { x: 8, y: 5 };

console.log(puntoMedio(a, b));

El resultado es { x: 5, y: 3 }. El orden de los argumentos no altera el resultado porque la suma es conmutativa.

6.9 Otra forma de obtenerlo

También podemos partir de A y avanzar la mitad del desplazamiento hacia B:

M = A + (B − A) / 2
Mx = x₁ + (x₂ − x₁) / 2
My = y₁ + (y₂ − y₁) / 2

Al simplificar estas expresiones obtenemos el promedio. Esta segunda forma anticipa la interpolación lineal que estudiaremos más adelante.

6.10 De punto medio a interpolación

El punto medio corresponde al 50 % del recorrido. Un parámetro t permite obtener cualquier posición del segmento:

P(t) = A + (B − A) × t
t = 0 → A
t = 0,5 → punto medio
t = 1 → B

Esta operación se denomina interpolación lineal. El punto medio es su caso más simétrico.

6.11 Centros de figuras mediante puntos medios

El centro de un rectángulo alineado con los ejes es el punto medio entre dos esquinas opuestas. También podemos encontrar el centro de una diagonal, de una caja delimitadora o de dos posiciones extremas.

Situación	Extremos utilizados	Resultado
Centro de un segmento	Sus dos extremos	Punto medio
Centro de un rectángulo	Esquinas opuestas	Centro geométrico
Cámara entre dos jugadores	Posiciones de los jugadores	Objetivo de la cámara
Etiqueta de una arista	Nodos conectados	Posición central de la etiqueta

6.12 Aplicaciones en gráficos 2D

Centrar texto o iconos sobre un segmento.
Colocar una cámara entre dos personajes.
Encontrar el centro de diagonales y rectángulos.
Dividir líneas y curvas durante algoritmos de dibujo.
Generar nuevos vértices al subdividir una figura.
Situar controles, manejadores y etiquetas.
Calcular una posición inicial para una interpolación.

6.13 Errores comunes

Promediar solo una coordenada.
Escribir x₁ + x₂ / 2 sin agrupar la suma entre paréntesis.
Calcular la mitad de cada punto y olvidar sumar los resultados.
Redondear M cuando se necesitan coordenadas decimales precisas.
Confundir el punto medio del segmento con el origen del sistema.
Usar el promedio de dos esquinas adyacentes cuando se busca el centro de un rectángulo.
Mezclar extremos expresados en sistemas de coordenadas diferentes.

6.14 Qué debes recordar de este tema

El punto medio pertenece al segmento y está a igual distancia de sus extremos.
Se obtiene promediando por separado x e y.
La fórmula funciona con segmentos de cualquier orientación.
Las coordenadas del resultado pueden ser decimales.
Intercambiar los extremos no cambia el punto medio.
También puede calcularse avanzando desde A la mitad del desplazamiento hacia B.
Es el caso t = 0,5 de la interpolación lineal.

6.15 Conclusión

Promediar las coordenadas de los extremos proporciona una forma sencilla y exacta de encontrar el centro de un segmento. Esta idea conecta geometría, simetría e interpolación, y aparece constantemente en el posicionamiento de elementos gráficos.

En el próximo tema estudiaremos rectas y segmentos, sus diferencias y su representación dentro de una escena 2D.

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