7. Rectas y segmentos
Dos puntos determinan una dirección común, pero una recta, una semirrecta y un segmento no representan el mismo conjunto. Distinguir sus límites es fundamental para dibujar bordes, trayectorias, rayos y pruebas de intersección.
7.1 Introducción
En una pantalla dibujamos trazos finitos, pero muchos cálculos geométricos utilizan objetos que se prolongan indefinidamente. Una línea visible puede representar una recta infinita, una semirrecta con un único origen o un segmento limitado por dos extremos.
La forma visual puede ser parecida; la diferencia está en qué puntos pertenecen al objeto y qué límites deben respetar los algoritmos.
7.2 Tres conceptos relacionados
| Objeto | Extremos | Extensión | Ejemplo gráfico |
|---|---|---|---|
| Recta | No tiene | Infinita en ambos sentidos | Línea guía o eje |
| Semirrecta | Un origen | Infinita en un sentido | Rayo o dirección de visión |
| Segmento | Dos extremos | Finita | Borde de una figura |
7.3 La recta
Una recta contiene infinitos puntos y se prolonga sin límite en dos sentidos opuestos. Dos puntos distintos A y B determinan una única recta. Esos puntos sirven para definirla, pero no son sus extremos.
Al representarla en una pantalla debemos recortar su dibujo a los límites visibles, aunque matemáticamente continúe fuera de ellos.
7.4 La semirrecta
Una semirrecta comienza en un punto A y se prolonga indefinidamente en una dirección indicada por otro punto B. El orden importa: la semirrecta AB no es igual a la semirrecta BA.
dirección = desde A hacia B
Los rayos utilizados para selección, iluminación, visión o disparos suelen modelarse como semirrectas.
7.5 El segmento
Un segmento es la parte de una recta comprendida entre dos extremos A y B, ambos incluidos. Posee longitud finita y no continúa más allá de ellos.
Los lados de polígonos, las paredes de un nivel y los trazos dibujados con Canvas son segmentos. A diferencia de la semirrecta, el segmento AB es el mismo que BA.
7.6 Representación paramétrica común
Los tres objetos pueden describirse con la misma fórmula. Partimos de A y avanzamos un múltiplo t del desplazamiento hacia B:
Px = Ax + t(Bx − Ax)
Py = Ay + t(By − Ay)
Lo que cambia es el conjunto de valores permitidos para t:
| Objeto | Valores de t | Interpretación |
|---|---|---|
| Recta | Cualquier número real | Puede avanzar antes de A y después de B |
| Semirrecta AB | t ≥ 0 | Comienza en A y atraviesa B |
| Segmento AB | 0 ≤ t ≤ 1 | Está limitado entre A y B |
7.7 Valores especiales del parámetro
- t = 0: P coincide con A.
- t = 1: P coincide con B.
- t = 0,5: P es el punto medio.
- t < 0: P está antes de A.
- t > 1: P está más allá de B.
Esta interpretación permite comprobar pertenencia al segmento sin depender de si la línea es horizontal, vertical o diagonal.
7.8 Simulación interactiva: cambia los límites
Arrastra A y B y alterna entre recta, semirrecta y segmento. Mueve el parámetro t para recorrer la línea subyacente; el panel indicará si P pertenece al objeto seleccionado.
Prueba t = −0,5 y t = 1,5. Esos puntos pertenecen a la recta, pero el primero no pertenece a la semirrecta AB y ninguno pertenece al segmento AB.
7.9 Crear puntos de un segmento en JavaScript
La siguiente función devuelve la posición correspondiente a t:
function puntoEnLinea(a, b, t) {
return {
x: a.x + (b.x - a.x) * t,
y: a.y + (b.y - a.y) * t
};
}
const a = { x: 2, y: 1 };
const b = { x: 8, y: 5 };
console.log(puntoEnLinea(a, b, 0));
console.log(puntoEnLinea(a, b, 0.5));
console.log(puntoEnLinea(a, b, 1));Los resultados son A, el punto medio y B. Con t fuera de [0, 1], la función continúa sobre la recta más allá del segmento.
7.10 Longitud y dirección del segmento
La longitud de AB es la distancia entre sus extremos. La diferencia B − A expresa su dirección y desplazamiento total:
longitud = √((Bx − Ax)² + (By − Ay)²)
Si A y B coinciden, la longitud es cero y no existe una dirección única. Este caso degenerado debe tratarse antes de normalizar o prolongar el segmento.
7.11 Recortar una recta para dibujarla
Una recta matemática es infinita, pero el lienzo es finito. Para mostrarla debemos encontrar dónde cruza los bordes visibles o extenderla una distancia suficientemente grande y recortarla mediante el área de dibujo.
En Canvas, todo lo que queda fuera del lienzo se descarta automáticamente. Aun así, los cálculos geométricos deben conservar la distinción entre el tramo visible y la recta completa.
7.12 Aplicaciones en gráficos 2D
| Aplicación | Modelo adecuado | Motivo |
|---|---|---|
| Eje o guía de alineación | Recta | Se prolonga en ambos sentidos |
| Rayo de selección | Semirrecta | Tiene origen y dirección |
| Borde de un polígono | Segmento | Está limitado por dos vértices |
| Trayectoria entre dos lugares | Segmento | Posee inicio y final |
| Dirección de visión | Semirrecta | No detecta detrás del origen |
7.13 Errores comunes
- Tratar una recta infinita como si terminara en los puntos usados para definirla.
- Olvidar que el orden importa en una semirrecta.
- Aceptar cualquier t al comprobar pertenencia a un segmento.
- Confundir un trazo visible recortado con el objeto matemático completo.
- No considerar el caso A = B.
- Comparar números decimales con igualdad exacta al verificar alineación.
- Usar una semirrecta cuando el problema requiere limitar también la distancia máxima.
7.14 Qué debes recordar de este tema
- Una recta se prolonga infinitamente en ambos sentidos.
- Una semirrecta posee un origen y una dirección infinita.
- Un segmento está limitado por dos extremos y tiene longitud finita.
- Dos puntos distintos determinan una única recta.
- P(t) = A + t(B − A) representa los tres objetos.
- El dominio de t determina si trabajamos con recta, semirrecta o segmento.
- Los trazos de figuras 2D suelen estar formados por segmentos.
7.15 Conclusión
Rectas, semirrectas y segmentos comparten dirección, pero difieren en sus límites. La representación paramétrica unifica los tres conceptos y permite recorrerlos, dibujarlos y comprobar pertenencia con una única fórmula.
En el próximo tema estudiaremos la pendiente de una recta, una medida numérica de su inclinación y sentido de crecimiento.