6. Demostración por contraposición

6.1 Introducción

La demostración por contraposición sirve para probar una implicación P → Q sin recorrerla directamente. En lugar de partir de P, demostramos ¬Q → ¬P. Ambas proposiciones siempre tienen el mismo valor de verdad, por lo que una prueba de la segunda es una prueba válida de la primera.

El método no demuestra una afirmación distinta ni más débil. Demuestra exactamente la proposición original mediante una formulación equivalente. La dificultad habitual consiste en escribir correctamente las negaciones.

6.2 Implicación y contraposición

Por ejemplo: «si un número es múltiplo de 4, entonces es par». Su contraposición es «si un número no es par, entonces no es múltiplo de 4». Las dos afirmaciones son verdaderas y expresan la misma relación lógica.

6.3 Tabla de verdad de la equivalencia

Una implicación P → Q solo es falsa cuando P es verdadera y Q es falsa. La contraposición ¬Q → ¬P falla exactamente en la misma situación.

Como las columnas de P → Q y ¬Q → ¬P coinciden, podemos reemplazar una por la otra durante una demostración.

6.4 No confundir contraposición, recíproca e inversa

6.5 Cuándo es conveniente usar la contraposición

Conviene cuando la hipótesis de la afirmación original ofrece poca información útil, pero la negación de la conclusión puede describirse con claridad. Es muy frecuente en resultados sobre paridad, divisibilidad, desigualdades y pertenencia a conjuntos.

6.6 Ejemplo principal: si n² es par, n es par

Demostraremos la contraposición: si n es impar, entonces n² es impar.

6.7 Ejemplo con código: paridad del cuadrado

El siguiente código revisa algunos casos. La demostración anterior es la que establece la propiedad para todos los enteros.

function esPar(n) {
  return n % 2 === 0;
}

function comprobarParidadDelCuadrado(n) {
  return { n, cuadrado: n * n, esPar: esPar(n * n) };
}

console.log(comprobarParidadDelCuadrado(7)); // { n: 7, cuadrado: 49, esPar: false }
console.log(comprobarParidadDelCuadrado(8)); // { n: 8, cuadrado: 64, esPar: true }

6.8 Ejemplo: si a + b es impar, a y b tienen paridad distinta

Queremos demostrar: si a + b es impar, entonces uno de los dos es par y el otro impar. La contraposición dice: si a y b tienen la misma paridad, entonces a + b es par.

Hay dos casos para la contraposición. Si ambos son pares, su suma es par. Si ambos son impares, escribimos a = 2r + 1 y b = 2s + 1; entonces a + b = 2(r + s + 1), que es par.

6.9 Ejemplo con divisibilidad

Demostraremos: si n no es divisible por 3, entonces n² no es divisible por 3. En este caso, es más natural analizar los restos posibles de n al dividir por 3.

Si n no es divisible por 3, su resto es 1 o 2. Si n = 3k + 1, entonces n² deja resto 1. Si n = 3k + 2, entonces n² = 9k² + 12k + 4 = 3(3k² + 4k + 1) + 1, que también deja resto 1. Por lo tanto, n² no es divisible por 3.

6.10 Contraposición y desigualdades

La contraposición resulta útil cuando una desigualdad puede negarse con facilidad. Por ejemplo, para demostrar «si x² < 1, entonces -1 < x < 1», podemos demostrar: si x ≤ -1 o x ≥ 1, entonces x² ≥ 1.

6.11 Negación de proposiciones compuestas

Para escribir una contraposición correcta debemos negar bien Q y P. Las leyes de De Morgan son esenciales para condiciones compuestas.

Negar «el usuario está activo y tiene permiso» no produce «el usuario no está activo y no tiene permiso». La negación correcta es «el usuario no está activo o no tiene permiso».

6.12 Negación de cuantificadores

Los cuantificadores también cambian al negar una afirmación. Negar «para todo» produce «existe al menos uno que no», y negar «existe» produce «para todo no».

Estas transformaciones aparecen al probar propiedades de conjuntos, algoritmos y consultas a bases de datos.

6.13 Contraposición en validaciones de programas

En código es habitual expresar una regla en su forma contrapositiva. Consideremos: «si una contraseña cumple todos los requisitos, entonces es aceptada». La contraposición útil es: «si no es aceptada, entonces falla al menos un requisito».

function cumpleRequisitos(clave) {
  const tieneLongitud = clave.length >= 8;
  const tieneDigito = /\d/.test(clave);
  return tieneLongitud && tieneDigito;
}

const clave = "sol2026";
console.log(cumpleRequisitos(clave)); // false
console.log(`Longitud válida: ${clave.length >= 8}`); // false

La salida muestra una razón concreta del rechazo. En una validación real puede haber varias condiciones, y las negaciones de conjunciones ayudan a describir los fallos posibles.

6.14 Relación con la corrección de algoritmos

La contraposición permite razonar sobre resultados inválidos. Si una función debe devolver un índice válido, una condición útil es: «si el resultado no está entre 0 y n - 1, entonces no puede representar una posición de un arreglo de longitud n».

También es frecuente en pruebas de seguridad: si una firma digital no verifica, entonces el mensaje o la firma no satisfacen el procedimiento de validación. La contraposición ayuda a expresar condiciones necesarias y a diseñar comprobaciones defensivas.

6.15 Plantilla para una demostración por contraposición

Es importante escribir al final por qué la nueva afirmación demuestra la original. Esa frase deja explícita la equivalencia lógica utilizada.

6.16 Cuándo no es la mejor opción

Podemos usar contraposición para cualquier implicación, pero no siempre simplifica la prueba. Si la hipótesis original ya tiene una forma muy útil, una demostración directa suele ser más breve y más fácil de leer.

6.17 Errores frecuentes

• Demostrar la recíproca Q → P creyendo que es la contraposición.
• Olvidar negar la conclusión antes de negar la hipótesis.
• Negar una conjunción u oración cuantificada de manera incorrecta.
• Usar la contraposición sin indicar la equivalencia lógica que la justifica.
• Confundir «no par» con «negativo» en lugar de «impar» cuando se trabaja con enteros.
• Elegir este método aunque la prueba directa sea inmediata.

6.18 Qué debes recordar de este tema

• La contraposición de P → Q es ¬Q → ¬P.
• Una implicación y su contraposición son lógicamente equivalentes.
• La contraposición no es la recíproca ni la inversa.
• Es especialmente útil cuando la negación de la conclusión permite usar definiciones sencillas.
• Las leyes de De Morgan y las negaciones de cuantificadores son necesarias para formularla correctamente.
• En programación ayuda a analizar validaciones, condiciones necesarias y resultados inválidos.

6.19 Conclusión

La demostración por contraposición muestra que una conclusión puede probarse estudiando qué ocurriría si no se cumpliera. Al usar una proposición equivalente, convierte problemas difíciles de abordar directamente en pruebas más claras.

En el próximo tema estudiaremos la demostración por contradicción, que parte de una suposición y muestra que conduce a una imposibilidad.