Los axiomas de la probabilidad establecen las reglas mínimas que debe cumplir cualquier asignación coherente de probabilidades, sin importar si el modelo es clásico, frecuentista o subjetivo.
Hasta ahora calculamos probabilidades contando resultados, observando frecuencias o expresando grados de confianza. Para que todos esos cálculos sean coherentes, necesitamos reglas generales.
En 1933, Andréi Kolmogórov formuló una base axiomática para la teoría de la probabilidad. Los axiomas conectan la probabilidad con los conjuntos y garantizan que las operaciones produzcan valores razonables.
Un axioma no es una fórmula que dependa de un dado o una moneda: es una propiedad que debe respetar cualquier modelo probabilístico válido.
Partimos de un espacio muestral Ω y de una colección de eventos. Una función de probabilidad asigna a cada evento A un número P(A) que representa su posibilidad.
Los axiomas indican qué valores son aceptables y cómo debe comportarse la función cuando relacionamos eventos diferentes.
La probabilidad de cualquier evento no puede ser negativa:
Una probabilidad de −0,2 no tiene interpretación válida. Este axioma no dice todavía que P(A) deba ser menor o igual que 1; esa propiedad se deduce junto con los otros axiomas.
En un espacio finito, la no negatividad también implica que las probabilidades asignadas a los resultados individuales no sean negativas.
La probabilidad del espacio muestral completo es 1:
El espacio Ω contiene todos los resultados considerados posibles. Por eso, antes de realizar el experimento, la probabilidad de que ocurra algún resultado de Ω es 100%.
La normalización permite interpretar las probabilidades como una distribución completa: no puede quedar posibilidad sin asignar ni asignarse más del total disponible.
Si A y B son disjuntos, no comparten resultados y no pueden ocurrir simultáneamente. En ese caso, la probabilidad de su unión es la suma:
La versión general del axioma se refiere a una colección numerable de eventos mutuamente disjuntos. Para un curso inicial, la idea clave es que no debemos contar dos veces un mismo resultado.
Los axiomas permiten demostrar propiedades que usamos continuamente:
| Propiedad | Resultado | Razón intuitiva |
|---|---|---|
| Acotación | 0 ≤ P(A) ≤ 1 | Un evento no puede tener menos que nada ni más que todo. |
| Evento imposible | P(∅) = 0 | El conjunto vacío no contiene resultados. |
| Complemento | P(Aᶜ) = 1 − P(A) | A y lo que no es A completan Ω. |
| Monotonía | Si A ⊆ B, entonces P(A) ≤ P(B) | B contiene todos los resultados de A y quizá más. |
La suma directa solo se aplica a eventos disjuntos. Si A y B comparten resultados, la unión se calcula corrigiendo el solapamiento:
La resta evita contar dos veces los resultados de A ∩ B. Por ejemplo, si P(A) = 0,4, P(B) = 0,3 y P(A ∩ B) = 0,1, entonces P(A ∪ B) = 0,6.
El siguiente verificador muestra distintos sistemas de valores. Las tarjetas verdes cumplen el axioma correspondiente y las rojas presentan una violación.
El gráfico no reemplaza una demostración formal: ayuda a relacionar los axiomas con comprobaciones numéricas concretas.
Si Ω tiene resultados elementales ω₁, ω₂, ..., ωₙ, una forma práctica de construir una distribución válida es asignar valores no negativos que sumen 1:
Luego, la probabilidad de un evento se obtiene sumando las probabilidades de los resultados que contiene. Este procedimiento es una consecuencia de la aditividad para eventos disjuntos.
Podemos escribir una función que compruebe una distribución discreta:
function distribucionValida(probabilidades) {
const noNegativas = probabilidades.every(p => p >= 0);
const suma = probabilidades.reduce((total, p) => total + p, 0);
return noNegativas && Math.abs(suma - 1) < 1e-10;
}
console.log(distribucionValida([0.2, 0.3, 0.5])); // true
console.log(distribucionValida([0.2, -0.1, 0.9])); // falseLa tolerancia numérica evita rechazar una distribución por pequeños errores de representación de números decimales en la computadora.
Antes de utilizar probabilidades en una aplicación debemos comprobar que el modelo sea coherente:
Estas comprobaciones son especialmente importantes en sistemas de predicción, simulaciones, modelos de riesgo y algoritmos de decisión.
Los axiomas de la probabilidad proporcionan una base común para todos los modelos probabilísticos. La no negatividad, la normalización y la aditividad aseguran que las asignaciones puedan interpretarse como medidas coherentes de incertidumbre.
En el próximo tema estudiaremos con más detalle la regla de Laplace y sus condiciones de aplicación en espacios finitos equiprobables.