El complemento de un evento reúne todos los resultados en los que ese evento no ocurre. Su probabilidad se obtiene restando la probabilidad del evento al total: P(Aᶜ) = 1 − P(A).
En muchos problemas es más sencillo calcular la probabilidad de que ocurra un evento que calcular directamente la probabilidad de todos los casos alternativos. El complemento permite aprovechar esa situación.
Si A representa “el evento ocurre”, su complemento Ac representa “el evento no ocurre”. Entre ambos cubren todo el espacio muestral y no pueden ocurrir al mismo tiempo en una misma realización.
Sea Ω el espacio muestral y A un evento. El complemento de A contiene los resultados de Ω que no pertenecen a A:
También podemos leer Ac como “no A”, “A no ocurre” o “ocurre el evento contrario a A”, siempre que el espacio muestral esté claro.
Como A y Ac son disjuntos y juntos forman Ω, sus probabilidades suman 1:
La fórmula funciona con probabilidades clásicas, frecuentistas o subjetivas, siempre que la asignación sea coherente con los axiomas de la probabilidad.
Sea A el evento “obtener un número mayor que 4” al lanzar un dado equilibrado:
Calcular directamente Ac requiere contar cuatro resultados. Usar el complemento permite obtener la respuesta inmediatamente a partir de P(A).
Supongamos que un sistema tiene una probabilidad de 0,02 de fallar durante una operación. La probabilidad de que no falle es:
La regla es útil en confiabilidad, redes y seguridad porque suele ser más fácil modelar un tipo de fallo que enumerar todos los modos en que el sistema puede funcionar correctamente.
Una aplicación muy frecuente aparece en eventos del tipo “al menos uno”. En vez de contar todos los casos con uno, dos, tres o más éxitos, calculamos primero el complemento “ninguno”.
Por ejemplo, si se envían varios paquetes y queremos saber la probabilidad de que al menos uno llegue tarde, podemos calcular 1 menos la probabilidad de que todos lleguen a tiempo.
El complemento se relaciona con las operaciones de unión e intersección mediante las leyes de De Morgan:
La primera igualdad significa que “no ocurre A ni B” equivale a “no ocurre A y no ocurre B”. Estas transformaciones permiten simplificar problemas y condiciones lógicas.
El siguiente gráfico divide un rectángulo que representa el 100% de los resultados. La zona verde corresponde a A y la zona azul a Ac. Cambia el evento para ver cómo se redistribuye la probabilidad.
La suma de las dos zonas siempre ocupa el 100% del rectángulo. El complemento no es una probabilidad “restante” arbitraria: está definido por todos los resultados de Ω que quedan fuera de A.
Una función puede calcular directamente la probabilidad de un evento y la de su complemento:
function probabilidadComplemento(espacio, condicion) {
const favorables = espacio.filter(condicion).length;
const probabilidad = favorables / espacio.length;
return {
evento: probabilidad,
complemento: 1 - probabilidad
};
}
const resultado = probabilidadComplemento(
[1, 2, 3, 4, 5, 6],
numero => numero % 2 === 0
);
console.log(resultado); // { evento: 0.5, complemento: 0.5 }Al repetir un experimento, cada resultado pertenece a A o a Ac. Por eso las dos frecuencias observadas también deben sumar 100% en cada muestra.
La frecuencia de A puede ser menor o mayor que su probabilidad teórica en una ejecución, pero la frecuencia de Ac completa siempre el total.
| Área | Evento A | Complemento Aᶜ |
|---|---|---|
| Redes | El paquete se pierde. | El paquete llega. |
| Seguridad | El acceso es fraudulento. | El acceso es legítimo. |
| Calidad | La pieza es defectuosa. | La pieza cumple las especificaciones. |
| Machine learning | El clasificador se equivoca. | El clasificador acierta. |
La regla del complemento convierte muchos cálculos difíciles en una resta sencilla. Al identificar correctamente qué significa que un evento no ocurra, podemos obtener su probabilidad a partir de la probabilidad conocida del evento original.
En el próximo tema estudiaremos la probabilidad de la unión de eventos y aprenderemos a corregir el solapamiento entre eventos.