La intersección A ∩ B representa la posibilidad de que dos eventos ocurran simultáneamente. Su probabilidad depende de los resultados compartidos y de la relación entre ambos eventos.
En muchos problemas no basta con saber si ocurre A o si ocurre B: necesitamos que se cumplan ambas condiciones. Por ejemplo, que una persona tenga una determinada característica y además haya realizado una acción, o que un paquete llegue tarde y también llegue dañado.
La intersección permite describir esa coincidencia. En un diagrama de Venn corresponde a la zona superpuesta; en un programa, a una condición lógica con &&.
La intersección de A y B, escrita A ∩ B, contiene los resultados que pertenecen a ambos eventos:
Si A = {2, 4, 6} y B = {4, 5, 6}, entonces:
Los resultados 4 y 6 son los únicos que cumplen simultáneamente las dos condiciones.
Si dos eventos no comparten resultados, su intersección es el conjunto vacío:
Por ejemplo, en un lanzamiento de dado, “obtener un número par” y “obtener un número impar” son eventos disjuntos. No pueden ocurrir ambos en la misma realización.
Si el espacio muestral es finito y equiprobable, la probabilidad de la intersección se calcula contando los resultados comunes:
En un dado:
La unión y la intersección aparecen juntas en la fórmula de inclusión-exclusión:
La intersección se resta porque los resultados comunes fueron incluidos tanto en P(A) como en P(B). Conocerla permite calcular correctamente la unión.
La idea se extiende a más eventos. La intersección A ∩ B ∩ C contiene los resultados que pertenecen simultáneamente a los tres:
Por ejemplo, una observación puede pertenecer a la categoría A, haber sido registrada en B y además cumplir la condición C. Cada condición adicional reduce o mantiene el conjunto de resultados posibles.
| Notación | Lenguaje natural | Condición en JavaScript |
|---|---|---|
| A ∩ B | A y B ocurren. | condicionA && condicionB |
| A ∩ Bc | A ocurre y B no ocurre. | condicionA && !condicionB |
| (A ∩ B)c | No ocurren A y B simultáneamente. | !(condicionA && condicionB) |
El siguiente gráfico representa un espacio de 12 resultados que atraviesa dos filtros. La primera fila muestra los resultados que cumplen A, la segunda los que cumplen B y la tercera los que sobreviven a ambos filtros: A ∩ B.
Un resultado debe estar marcado en las dos primeras filas para aparecer en la tercera. Por eso la intersección es siempre un subconjunto de A y también de B.
El método filter puede conservar solo los elementos que pertenecen a los dos eventos:
function interseccionEventos(A, B) {
return A.filter(elemento => B.includes(elemento));
}
const A = [2, 4, 6, 8, 10, 12];
const B = [3, 6, 9, 12];
const comunes = interseccionEventos(A, B);
console.log(comunes); // [6, 12]Seleccionaremos al azar un resultado entre 1 y 12 y verificaremos si cumple simultáneamente A y B. La frecuencia observada se compara con P(A ∩ B).
Cuando estudiamos una intersección podemos preguntar qué proporción de A también pertenece a B. Esa idea conduce a la probabilidad condicional:
La interpretación y el cálculo de P(B | A) se estudiarán en los próximos temas. Por ahora, es suficiente reconocer que la intersección describe la ocurrencia conjunta.
La intersección representa la coincidencia entre eventos. Es la herramienta adecuada para estudiar situaciones en las que deben cumplirse dos o más condiciones al mismo tiempo, tanto en cálculos de conjuntos como en modelos y programas.
En el próximo tema estudiaremos los eventos mutuamente excluyentes, cuya intersección es el conjunto vacío.