Dos eventos son mutuamente excluyentes cuando no pueden ocurrir en la misma realización. Su intersección es vacía y la probabilidad de su unión se obtiene sumando sus probabilidades.
En un lanzamiento de dado, el resultado no puede ser par e impar al mismo tiempo. En una extracción de carta, una carta no puede ser simultáneamente de corazones y de tréboles.
Estos eventos se denominan mutuamente excluyentes, incompatibles o disjuntos. La característica central es que no comparten ningún resultado.
Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes si su intersección es el conjunto vacío:
La condición describe una imposibilidad dentro de una misma realización. No significa que A o B sean eventos imposibles por separado.
Consideremos un dado y los eventos:
Ambos eventos tienen probabilidad 1/2, pero ningún lanzamiento puede producir un resultado perteneciente a los dos.
Para eventos mutuamente excluyentes, la fórmula de la unión se simplifica:
Por ejemplo, la probabilidad de obtener 1 o 6 en un dado equilibrado es:
“Mutuamente excluyentes” e “independientes” no significan lo mismo:
| Concepto | Idea principal | Relación |
|---|---|---|
| Mutuamente excluyentes | No pueden ocurrir juntos. | P(A ∩ B) = 0 |
| Independientes | La ocurrencia de uno no cambia la probabilidad del otro. | P(A ∩ B) = P(A)P(B) |
Si dos eventos tienen probabilidad positiva y son mutuamente excluyentes, no pueden ser independientes: su intersección vale 0, pero P(A)P(B) sería positiva.
Una colección de eventos es mutuamente excluyente si ningún par comparte resultados. En ese caso podemos sumar todas sus probabilidades:
Los eventos también pueden ser exhaustivos si su unión cubre todo Ω. En ese caso, además de no superponerse, forman una partición del espacio muestral.
El gráfico representa dos conjuntos de resultados sobre una misma línea. La zona naranja indica resultados compartidos. Si está vacía, los eventos son mutuamente excluyentes.
La ausencia de resultados comunes es la señal visual de exclusión mutua. Si aparece al menos un resultado en la zona compartida, los eventos son compatibles.
Podemos verificar la exclusión buscando si existe algún elemento común:
function sonExcluyentes(A, B) {
return !A.some(elemento => B.includes(elemento));
}
console.log(sonExcluyentes([2, 4, 6], [1, 3, 5])); // true
console.log(sonExcluyentes([2, 4, 6], [4, 5, 6])); // falseSeleccionaremos un resultado al azar y comprobaremos si pertenece simultáneamente a A y B. En un escenario excluyente, la frecuencia de coincidencia debe ser exactamente 0.
Una partición de Ω está formada por eventos mutuamente excluyentes cuya unión es todo el espacio muestral. Por ejemplo, los resultados de un dado pueden dividirse en pares e impares.
Las particiones son útiles para organizar categorías, clasificaciones y modelos de probabilidad total.
Los eventos mutuamente excluyentes describen alternativas que no pueden suceder al mismo tiempo. Identificarlos permite calcular uniones mediante sumas simples y organizar el espacio muestral en categorías sin solapamiento.
En el próximo tema estudiaremos los eventos independientes, donde la ocurrencia de uno no modifica la probabilidad del otro.