Dos eventos son independientes cuando conocer que ocurrió uno no cambia la probabilidad del otro. En ese caso, la probabilidad de que ocurran ambos es el producto de sus probabilidades.
El resultado de lanzar una moneda no modifica el resultado de una segunda moneda, si los lanzamientos se realizan bajo las mismas condiciones. Del mismo modo, el resultado de un dado no cambia la distribución de otro dado independiente.
La independencia es una propiedad del modelo que indica que la información sobre un evento no aporta información adicional sobre el otro.
Si P(A) es positiva, A y B son independientes cuando:
Es decir, conocer que A ocurrió no cambia la probabilidad de B. También debe cumplirse la relación equivalente cuando P(B) es positiva:
La condición más utilizada es:
Si P(A) = 0,5 y P(B) = 0,5, entonces la probabilidad de que ambos ocurran es:
Sea A = “la primera moneda muestra cara” y B = “la segunda moneda muestra cara”. Si las monedas son equilibradas y los lanzamientos son independientes:
De los cuatro resultados ordenados posibles, solo (cara, cara) cumple ambos eventos. El conteo clásico y el producto conducen al mismo resultado.
Consideremos dos dados independientes. Sea A = “el primer dado es par” y B = “el segundo dado muestra 6”:
El primer dado no cambia las posibilidades del segundo. Hay 36 pares posibles y 3 pares favorables: (2,6), (4,6) y (6,6).
| Característica | Mutuamente excluyentes | Independientes |
|---|---|---|
| ¿Pueden ocurrir juntos? | No. | Sí, normalmente. |
| Intersección | P(A ∩ B) = 0. | P(A ∩ B) = P(A)P(B). |
| Ejemplo | Un dado es par e impar en un lanzamiento. | Dos monedas muestran cara. |
Dos eventos con probabilidades positivas no pueden ser a la vez mutuamente excluyentes e independientes.
Una colección de eventos es independiente cuando la ocurrencia conjunta de cualquier subconjunto se obtiene multiplicando sus probabilidades correspondientes:
En la práctica, debemos distinguir entre independencia por pares y independencia conjunta. Que cada pareja sea independiente no siempre garantiza que toda la colección lo sea.
La matriz muestra todas las combinaciones de dos experimentos. La fila representa el resultado del primer experimento y la columna el del segundo. Las celdas verdes son las combinaciones que cumplen A y B.
La matriz permite ver el espacio de resultados conjuntos. En experimentos independientes, las probabilidades de las combinaciones se obtienen multiplicando las probabilidades marginales.
Podemos comprobar la regla del producto con una tolerancia para los decimales:
function sonIndependientes(pA, pB, pInterseccion) {
const producto = pA * pB;
return Math.abs(pInterseccion - producto) < 1e-10;
}
console.log(sonIndependientes(0.5, 0.5, 0.25)); // true
console.log(sonIndependientes(0.5, 0.5, 0.40)); // falseRepetiremos cada escenario y contaremos cuántas veces ocurren A y B simultáneamente. La frecuencia debería aproximarse al producto teórico.
La independencia no debe suponerse automáticamente. Puede fallar cuando el primer evento modifica las condiciones del segundo:
En estos casos debemos estudiar la probabilidad condicional y utilizar la regla general del producto.
La independencia describe una situación en la que conocer un evento no aporta información sobre otro. Su consecuencia práctica es la regla del producto, que permite calcular probabilidades conjuntas multiplicando probabilidades individuales.
En el próximo tema estudiaremos los eventos dependientes, donde la ocurrencia de uno sí modifica la probabilidad del otro.