La probabilidad condicional mide la posibilidad de que ocurra B cuando ya sabemos que ocurrió A. El evento A reduce el conjunto de resultados que debemos considerar.
La información disponible puede cambiar la forma en que calculamos una probabilidad. No es lo mismo preguntar “¿qué probabilidad hay de que una persona tenga cierta característica?” que preguntar “¿qué probabilidad hay sabiendo que pertenece a un grupo específico?”.
La probabilidad condicional formaliza ese cambio de perspectiva. Al conocer A, dejamos de considerar todos los resultados de Ω y nos concentramos en los resultados compatibles con A.
La expresión P(B | A) se lee “probabilidad de B dado A”. La barra vertical significa que A es la condición o información conocida.
El orden importa: P(B | A) y P(A | B) generalmente tienen valores diferentes.
Si P(A) es mayor que cero, la probabilidad condicional se define como:
El numerador representa los resultados que cumplen A y B. El denominador representa el nuevo espacio de referencia: los resultados que cumplen A.
Sea A = “el número está entre 1 y 6” y B = “el número es mayor que 4”.
Una vez que sabemos que el resultado está en A, ya no usamos los 12 resultados como denominador: usamos los 6 resultados de A.
La fórmula puede reorganizarse para calcular la probabilidad de una intersección:
Esta es la regla general del producto. Si A y B son independientes, P(B | A) = P(B) y se obtiene P(A ∩ B) = P(A)P(B).
Podemos imaginar que A funciona como un filtro. Antes del filtro hay todos los resultados de Ω; después del filtro solo permanecen los resultados de A. Dentro de ese nuevo espacio preguntamos qué parte cumple B.
| Etapa | Conjunto considerado | Pregunta |
|---|---|---|
| Sin información | Ω | ¿Cuál es P(B)? |
| Sabiendo A | A | ¿Qué parte de A también pertenece a B? |
| Coincidencia | A ∩ B | ¿Cuántos resultados cumplen ambas condiciones? |
El gráfico muestra todos los resultados de Ω y colorea A. Dentro de A, los resultados que también cumplen B aparecen en verde. Así se visualiza por qué el denominador de P(B | A) es la cantidad de resultados de A.
La zona verde representa A ∩ B. La proporción de verde dentro de A es P(B | A), mientras que la proporción de verde dentro de todo Ω es P(A ∩ B).
Podemos calcularla filtrando primero los resultados de A y luego contando los que también cumplen B:
function probabilidadCondicional(espacio, esA, esB) {
const resultadosA = espacio.filter(esA);
const resultadosAB = resultadosA.filter(esB);
return resultadosAB.length / resultadosA.length;
}
const numeros = Array.from({length: 12}, (_, i) => i + 1);
const resultado = probabilidadCondicional(
numeros,
x => x <= 6,
x => x > 4
);
console.log(resultado); // 1/3Seleccionaremos números al azar y observaremos dos frecuencias: P(B) sin filtro y P(B | A) entre los casos que cumplen A.
La independencia puede definirse con probabilidad condicional:
Si conocer A cambia el valor de B, los eventos son dependientes. Si no lo cambia, el conocimiento de A no aporta información probabilística sobre B.
La información condicional aparece cuando actualizamos una decisión con datos adicionales:
La condición debe interpretarse con cuidado: saber que A ocurrió cambia el conjunto de referencia, no necesariamente demuestra que A cause B.
La probabilidad condicional permite recalcular una posibilidad cuando incorporamos información. Su idea central es sencilla: restringir el espacio de resultados a los casos compatibles con la condición y medir allí la proporción favorable.
En el próximo tema estudiaremos la regla del producto con mayor detalle y la aplicaremos a secuencias de eventos.