La regla del producto permite calcular la probabilidad de que ocurran dos eventos juntos. Es especialmente útil cuando un experimento se desarrolla en etapas: primero ocurre una situación y, después, otra bajo esa condición.
Si queremos que ocurran A y B, estamos buscando la intersección A ∩ B. La idea central es separar el cálculo en dos preguntas: ¿con qué probabilidad sucede A? y, una vez que sucedió A, ¿con qué probabilidad sucede B?
Multiplicar las probabilidades de las etapas evita contar dos veces los resultados y deja explícita la información que cambia cuando conocemos el resultado anterior.
Se lee: la probabilidad de A y B es la probabilidad de A multiplicada por la probabilidad de B condicionada a A. También podemos invertir el orden:
Las dos expresiones producen el mismo valor porque describen el mismo evento conjunto desde dos puntos de vista.
Si saber que ocurrió A no cambia la probabilidad de B, entonces P(B|A)=P(B). En ese caso:
Por ejemplo, lanzar una moneda y luego un dado son etapas independientes. En cambio, extraer dos cartas sin devolver la primera al mazo suele generar dependencia.
Sea A = “obtener cara” al lanzar una moneda y B = “obtener un número mayor que 4” al lanzar un dado. Como los lanzamientos son independientes, P(A)=1/2 y P(B)=2/6=1/3.
De los 12 pares posibles (cara o cruz combinados con 1 a 6), solamente cara-5 y cara-6 cumplen ambas condiciones.
Una urna contiene 3 bolas rojas y 2 azules. La probabilidad de extraer una roja en el primer intento es 3/5. Si ya salió roja y no la devolvemos, quedan 2 rojas entre 4 bolas, por lo que:
La segunda fracción no es 3/5: la primera extracción modificó la composición de la urna. Allí aparece la probabilidad condicional.
Un árbol de probabilidades muestra cada camino posible. Las probabilidades se escriben en las ramas y la probabilidad de un camino se obtiene multiplicando sus ramas. Luego se pueden sumar los caminos que representan el mismo evento.
En el árbol, cada hoja representa una combinación completa de resultados. Si el evento buscado puede suceder por varios caminos, se suman los productos de esos caminos. Por ejemplo, “exactamente una roja” en dos extracciones tiene dos caminos: roja-azul y azul-roja.
La regla del producto calcula un camino; la regla de la suma, que estudiaremos en el próximo tema, combina caminos alternativos.
La regla del producto se puede implementar como una función que reciba la probabilidad de la primera etapa y la probabilidad condicionada de la segunda:
function probabilidadConjunta(probA, probBDadoA) {
return probA * probBDadoA;
}
const resultado = probabilidadConjunta(3 / 5, 2 / 4);
console.log(resultado); // 0.3El producto representa un único camino del árbol: primero ocurre A y después ocurre B sabiendo que A ya ocurrió. El botón Ejecutar permite probar el código y observar el resultado.
La frecuencia relativa de “A y B” se aproxima a P(A)·P(B|A) cuando aumenta la cantidad de ensayos. La simulación no demuestra la igualdad para todo caso, pero permite observar la estabilidad de las frecuencias.
En control de calidad, un producto puede pasar una primera inspección y luego una segunda prueba. Si la segunda prueba depende de la primera, el producto de las probabilidades debe usar la condición correcta. El mismo razonamiento aparece en filtros, diagnósticos y procesos de selección.
La regla del producto expresa la probabilidad conjunta como P(A ∩ B)=P(A)P(B|A). Un diagrama de árbol ayuda a visualizar las etapas y calcular cada camino. Para practicar, construye un árbol de dos extracciones y compara con una simulación.
Cuando un experimento tiene etapas, la probabilidad de llegar a un resultado específico se obtiene recorriendo su camino y multiplicando las probabilidades de sus ramas. Esta idea conecta la probabilidad condicional con modelos más complejos.