La varianza mide cuánto se alejan, en promedio, los valores de una variable aleatoria respecto de su esperanza. Mientras la esperanza describe el centro de una distribución, la varianza describe su dispersión.
Dos variables pueden tener la misma esperanza y, sin embargo, comportarse de forma muy diferente. Una puede concentrar sus valores cerca del promedio y otra puede producir valores muy alejados. Por eso conocer solamente E(X) no alcanza para describir una distribución.
Sea X una variable aleatoria con media μ=E(X). La varianza de X se define como la esperanza del cuadrado de la distancia entre X y su media:
Para una variable discreta, la fórmula se escribe:
Cada distancia al promedio se eleva al cuadrado y luego se pondera por la probabilidad del valor correspondiente.
El procedimiento se puede organizar en cuatro pasos:
El resultado siempre es mayor o igual que cero. Es cero solamente cuando X toma un único valor con probabilidad 1.
Para un dado equilibrado, μ=3,5. Las desviaciones de las caras son −2,5, −1,5, −0,5, 0,5, 1,5 y 2,5. Después de ponderar sus cuadrados:
La varianza no es una cara del dado: es un resumen numérico de la dispersión de todas las caras alrededor de 3,5.
En muchos cálculos resulta más cómodo usar la identidad:
Primero se calcula E(X²), ponderando el cuadrado de cada valor, y luego se resta el cuadrado de la esperanza. Esta fórmula no significa que Var(X)=E(X)²; la resta entre ambos términos es esencial.
Imagina la esperanza como un punto de equilibrio sobre una recta numérica. La varianza combina las distancias cuadradas de todos los valores hasta ese punto. Las observaciones lejanas pesan mucho más que las cercanas: una distancia doble aporta cuatro veces más al cuadrado.
Por eso la varianza es sensible a valores extremos. Un resultado muy alejado del promedio puede aumentar considerablemente la medida de dispersión.
Considera dos variables con esperanza 5. Si una toma siempre el valor 5, su varianza es 0. Si otra toma 0 y 10 con probabilidades iguales, su esperanza también es 5, pero su varianza es 25. El centro coincide, mientras que la segunda distribución está mucho más extendida.
Selecciona un modelo para observar sus probabilidades, su esperanza y la contribución de cada valor a la varianza. Las barras coloreadas muestran (x−μ)²·p(x): los valores altos contribuyen más al total.
La varianza tiene propiedades útiles para transformar variables:
Sumar una constante b desplaza todos los valores, pero no cambia sus distancias entre sí. Multiplicar por a cambia las distancias por |a|, por eso la varianza cambia por a². Además, Var(X)≥0.
Si X e Y son independientes, entonces Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y). Para variables que no son independientes hay que tener en cuenta también su covarianza, que se estudiará más adelante.
La varianza queda expresada en unidades al cuadrado. Si X mide un tiempo en segundos, Var(X) se expresa en segundos²; si mide una distancia en metros, se expresa en metros². Esta es una razón por la que más adelante se estudia la desviación estándar: al extraer la raíz cuadrada se recuperan las unidades originales.
Podemos calcular la varianza teórica usando primero la esperanza y luego las desviaciones cuadradas ponderadas:
function varianza(valores, probabilidades) {
const media = valores.reduce(
(suma, x, i) => suma + x * probabilidades[i], 0);
return valores.reduce(
(suma, x, i) => suma + (x - media) ** 2 * probabilidades[i], 0
);
}
console.log(varianza([0, 1], [0.7, 0.3])); // 0.21La función usa la distribución completa y no el divisor muestral n−1. Pulsa Ejecutar para calcularla.
En una muestra, la varianza calculada cambia de una simulación a otra. Al aumentar la cantidad de observaciones, la varianza observada suele acercarse a la varianza teórica del modelo, aunque la aproximación no es idéntica en todos los ensayos.
Cuando conocemos toda la distribución o todos los elementos de una población, usamos la varianza poblacional:
En estadística, cuando calculamos la dispersión a partir de una muestra de tamaño n para estimar una población, suele utilizarse la varianza muestral:
El divisor n−1 corrige, en promedio, la tendencia de una muestra a subestimar la variabilidad poblacional. En este tema, al trabajar con una variable aleatoria y sus probabilidades, la fórmula principal es Var(X)=E[(X−μ)²].
La varianza también permite obtener cotas generales sobre los valores extremos. La desigualdad de Chebyshev afirma que, para k>0:
Esto garantiza que la probabilidad de alejarse muchas desviaciones estándar del promedio no puede ser demasiado grande, sin exigir que la distribución sea normal.
La varianza se usa para medir riesgo financiero, variabilidad de tiempos de ejecución, estabilidad de sensores, dispersión de errores, calidad de procesos y diferencias entre algoritmos. En programación y ciencia de datos ayuda a distinguir un promedio estable de otro que oculta resultados muy variables.
La varianza mide la dispersión alrededor de la esperanza:
Siempre es no negativa, está expresada en unidades al cuadrado y aumenta cuando aparecen resultados alejados del promedio.
La esperanza indica dónde se concentra una distribución y la varianza indica cuánto se separan sus valores de ese centro. Juntas proporcionan una descripción mucho más informativa que cualquiera de las dos por separado. La raíz cuadrada de la varianza, la desviación estándar, permitirá interpretar esta dispersión en las unidades originales.