La desviación estándar mide la dispersión de una variable alrededor de su esperanza y la expresa en las mismas unidades que los datos. Es la raíz cuadrada de la varianza y facilita interpretar qué tan lejos suelen estar los valores del promedio.
En el tema anterior vimos que la varianza calcula el promedio de las desviaciones cuadradas respecto de la media. El cuadrado evita cancelaciones, pero cambia las unidades: si X se mide en segundos, la varianza queda expresada en segundos².
La desviación estándar resuelve este inconveniente tomando la raíz cuadrada de la varianza. Así recupera las unidades originales y se vuelve más fácil de comunicar.
Si X tiene varianza Var(X), su desviación estándar se define como:
Usando la definición de varianza:
Para una variable discreta:
La desviación estándar nunca es negativa. Es igual a cero cuando todos los resultados posibles coinciden con la media.
Para calcularla a partir de una distribución discreta:
La raíz cuadrada se aplica al resultado total, no a cada desviación por separado.
Para un dado equilibrado, la esperanza es μ=3,5 y la varianza es 35/12≈2,917. Por lo tanto:
Esto indica que la escala típica de separación de las caras respecto de 3,5 es aproximadamente 1,708 unidades. No significa que cada lanzamiento se encuentre exactamente a esa distancia.
La desviación estándar suele interpretarse como una distancia típica respecto de la media. Es una guía sobre la variabilidad, no una garantía de que todos los valores estén dentro de μ±σ.
Para una distribución concreta, la proporción de valores dentro de una desviación estándar depende de su forma. La regla aproximada 68%-95%-99,7% corresponde a una distribución normal y no debe aplicarse automáticamente a cualquier variable.
Si dos variables se expresan en la misma unidad y tienen medias comparables, la que posee mayor desviación estándar presenta mayor dispersión absoluta. Por ejemplo, dos algoritmos pueden tardar en promedio 100 milisegundos, pero uno puede tener σ=2 ms y otro σ=25 ms. El segundo tiene un comportamiento mucho menos estable.
Si las escalas o unidades son diferentes, comparar desviaciones estándar directamente puede ser engañoso. En ese caso puede ser útil una medida relativa como el coeficiente de variación.
Como se obtiene a partir de cuadrados, la desviación estándar es sensible a observaciones alejadas de la media. Un valor extremo puede aumentar mucho la varianza y, por consiguiente, la desviación estándar.
Esta sensibilidad es útil cuando los extremos representan riesgo real, pero puede resultar inconveniente si son errores de medición. Siempre conviene revisar los datos antes de interpretar un valor grande.
El gráfico muestra la esperanza como una línea vertical y una banda aproximada μ±σ. Las barras representan las probabilidades de los valores posibles. Observa cómo una distribución concentrada tiene una banda estrecha y una distribución extendida una banda más amplia.
Al igual que la varianza, la desviación estándar puede calcularse usando el segundo momento:
Esta forma es práctica para cálculos algebraicos y para implementar el resultado en un programa. Hay que cuidar los errores de redondeo, especialmente cuando E(X²) y [E(X)]² son números muy cercanos.
Si Y=aX+b, la desviación estándar cumple:
Sumar b no cambia la dispersión: solo desplaza el centro. Multiplicar por a cambia todas las distancias por |a|. El valor absoluto aparece porque una reflexión, como multiplicar por −1, no puede producir una desviación estándar negativa.
Cuando se conoce una distribución completa, la desviación estándar poblacional es:
Cuando se estima la dispersión de una población a partir de una muestra, suele utilizarse:
La diferencia entre n y n−1 pertenece al procedimiento estadístico de estimación. No debe confundirse con la desviación estándar teórica calculada a partir de las probabilidades de una variable aleatoria.
La desviación estándar se obtiene aplicando la raíz cuadrada a la varianza:
function desviacionEstandar(valores, probabilidades) {
const media = valores.reduce(
(suma, x, i) => suma + x * probabilidades[i], 0);
const varianza = valores.reduce(
(suma, x, i) => suma + (x - media) ** 2 * probabilidades[i], 0
);
return Math.sqrt(varianza);
}
console.log(desviacionEstandar([0, 1], [0.7, 0.3])); // aprox. 0.458La raíz devuelve el resultado en las mismas unidades que X. Pulsa Ejecutar para obtenerlo.
En cada muestra se calcula la media y luego la desviación estándar de los valores observados. La curva muestra cómo evoluciona el resultado al acumular ensayos y la línea horizontal indica la desviación estándar teórica del modelo.
Para comparar variabilidad relativa entre variables positivas con medias diferentes, puede utilizarse el coeficiente de variación:
Un CV del 10% indica que la desviación estándar equivale aproximadamente al 10% de la media. No es apropiado cuando la media es cero o está muy cerca de cero, ni cuando los datos pueden tomar valores negativos sin una interpretación adecuada.
La desviación estándar permite expresar la desigualdad de Chebyshev:
Por ejemplo, como mínimo 1−1/4=75% de los valores se encuentran a menos de 2σ de la media. Esta garantía vale para cualquier distribución con varianza finita, aunque puede ser menos precisa que las reglas específicas de una distribución normal.
La desviación estándar aparece en el análisis de tiempos de respuesta, rendimiento de algoritmos, medición de errores, control de calidad, finanzas, sensores y aprendizaje automático. Es especialmente útil cuando se necesita comunicar la variabilidad en las mismas unidades que el fenómeno observado.
La desviación estándar es una medida no negativa de dispersión, se expresa en las mismas unidades que X y permite interpretar mejor la magnitud de la variabilidad que la varianza por sí sola.
La varianza es fundamental para los cálculos, pero sus unidades al cuadrado dificultan la interpretación directa. La desviación estándar conserva la información de dispersión y la traduce a la escala original de los datos. En el próximo tema, la covarianza permitirá estudiar cómo varían conjuntamente dos variables.