La distribución de Bernoulli modela un único ensayo con dos resultados posibles: éxito o fracaso. Es la base de muchos modelos de conteo y el bloque fundamental de la distribución binomial.
Un ensayo de Bernoulli responde una pregunta con dos resultados. Podemos llamar éxito al evento de interés y fracaso a que ese evento no ocurra. La etiqueta no implica que el resultado sea bueno o malo: depende de cómo definamos el problema.
Una variable X tiene distribución de Bernoulli con parámetro p, escrito X∼Bernoulli(p), si solo puede tomar los valores 0 y 1:
El valor 1 suele representar éxito y el valor 0 fracaso. El parámetro debe cumplir 0≤p≤1.
Una forma compacta de escribir ambas probabilidades es:
Si x=1, queda p¹(1−p)⁰=p. Si x=0, queda p⁰(1−p)¹=1−p. La misma expresión cubre los dos casos.
Son ejemplos de variables de Bernoulli:
Para que el modelo sea adecuado debe existir una sola observación binaria. Si contamos éxitos en varios ensayos, necesitaremos otro modelo, como la distribución binomial.
La esperanza de una variable de Bernoulli es:
Esto coincide con la probabilidad de éxito. Si p=0,3, el promedio de muchos valores 0 y 1 se acerca a 0,3.
La varianza de Bernoulli se obtiene a partir de E(X)=p:
La variabilidad es cero cuando p=0 o p=1 porque el resultado es seguro. Es máxima cuando p=0,5, donde éxito y fracaso tienen el mismo peso.
Una variable de Bernoulli puede actuar como indicador de un evento A:
Esta representación permite convertir eventos en números y facilita contar ocurrencias, sumar éxitos y construir algoritmos de simulación.
La gráfica muestra las probabilidades de fracaso y éxito. También indica la esperanza y la varianza para el valor elegido de p.
Podemos simular un ensayo comparando un número aleatorio con p:
function ensayoBernoulli(p) {
return Math.random() < p ? 1 : 0;
}
const p = 0.3;
const resultado = ensayoBernoulli(p);
console.log(resultado); // 0 o 1Pulsa Ejecutar para realizar un ensayo. La probabilidad de obtener 1 es aproximadamente p cuando se repite muchas veces.
La simulación repite ensayos de Bernoulli, cuenta los éxitos y compara la frecuencia observada con p.
Si repetimos n ensayos de Bernoulli independientes con la misma probabilidad p y contamos los éxitos, obtenemos una variable binomial:
La esperanza de la suma es np y su varianza es np(1−p). La distribución de Bernoulli describe un ensayo; la binomial describe el conteo de éxitos en varios.
El modelo binomial supone ensayos independientes y una misma probabilidad p en cada repetición. Si la probabilidad cambia entre ensayos o existe dependencia, la suma sigue siendo interpretable, pero ya no necesariamente tiene una distribución binomial estándar.
En un ensayo de Bernoulli, éxito y fracaso son eventos complementarios:
Esta relación permite calcular rápidamente uno de los resultados cuando conocemos el otro.
Bernoulli aparece en pruebas de funcionamiento, detección de errores, respuestas sí/no, clics, conversiones, bits, paquetes entregados, clasificación correcta o incorrecta y cualquier proceso que reduzca una observación a dos categorías.
Bernoulli modela un único resultado binario. Es la unidad básica para representar éxitos, fracasos y variables indicadoras.
La distribución de Bernoulli transforma una decisión binaria en una variable aleatoria con propiedades simples y útiles. Su suma conduce a la distribución binomial, que permitirá estudiar cantidades de éxitos en una secuencia de ensayos.