37. Distribución binomial

La distribución binomial cuenta cuántos éxitos aparecen en una cantidad fija de ensayos de Bernoulli independientes, todos con la misma probabilidad de éxito.

37.1 De Bernoulli a binomial

Una variable de Bernoulli describe un solo ensayo y toma los valores 0 o 1. Si repetimos ese ensayo n veces y sumamos los resultados, obtenemos el número total de éxitos:

X=X1+X2+···+Xn

Cuando los ensayos son independientes y mantienen la misma probabilidad p, X tiene distribución binomial con parámetros n y p, escrito X∼Binomial(n,p).

nCantidad fija de ensayos.
pProbabilidad de éxito en cada ensayo.
XCantidad total de éxitos.
1−pProbabilidad de fracaso.

37.2 Condiciones del modelo

Para usar la distribución binomial deben cumplirse cuatro condiciones:

  1. Hay una cantidad fija n de ensayos.
  2. Cada ensayo tiene dos resultados: éxito o fracaso.
  3. La probabilidad de éxito p es la misma en todos los ensayos.
  4. Los ensayos son independientes.

Si se extrae sin reemplazo de una población pequeña, la independencia puede fallar. En ese caso puede ser más apropiada la distribución hipergeométrica.

37.3 Función de probabilidad

La probabilidad de obtener exactamente k éxitos en n ensayos es:

P(X=k)=C(n,k)pk(1−p)n−k
k=0,1,2,...,n

El factor C(n,k) cuenta cuántas posiciones diferentes pueden ocupar los k éxitos. Cada secuencia concreta tiene probabilidad pk(1−p)n−k.

37.4 Ejemplo: cuatro lanzamientos

Si lanzamos una moneda equilibrada cuatro veces, la probabilidad de obtener exactamente dos caras es:

P(X=2)=C(4,2)(0,5)²(0,5)²=6/16=0,375

Hay seis secuencias con dos caras: CCCC no corresponde, pero CCXX, CXCX, CXXC, XCCX, X C X C y XXCC, usando C para cara y X para cruz, muestran la idea de contar posiciones.

37.5 Probabilidades de “al menos” y “como máximo”

La fórmula binomial calcula probabilidades puntuales. Para eventos acumulados sumamos varios valores:

P(X≤r)=Σk=0rP(X=k)
P(X≥r)=Σk=rnP(X=k)

También puede ser más sencillo usar el complemento: P(X≥1)=1−P(X=0). Elegir la suma más corta reduce errores de cálculo.

37.6 Esperanza y varianza

Si X∼Binomial(n,p), sus principales medidas son:

E(X)=np
Var(X)=np(1−p)
σ=√(np(1−p))

La esperanza representa la cantidad media de éxitos en muchas repeticiones del experimento completo. No tiene que ser un número entero.

37.7 Forma de la distribución

Cuando p=0,5, la distribución suele ser simétrica alrededor de n/2. Si p es menor que 0,5, la masa se concentra cerca de valores bajos y aparece una cola hacia la derecha. Si p es mayor que 0,5, ocurre lo contrario.

La forma también depende de n. Al aumentar la cantidad de ensayos, la distribución del conteo puede adquirir una forma más suave y concentrada en torno a np.

37.8 Explorador binomial

Selecciona n y p para observar las probabilidades de cada cantidad posible de éxitos. La barra roja marca la esperanza np.

Probabilidades de X éxitos

Distribución binomialBarras de probabilidades de cantidad de éxitos.

37.9 Distribución binomial en JavaScript

Podemos calcular la probabilidad de exactamente k éxitos mediante el coeficiente binomial:

function combinaciones(n, k) {
  let resultado = 1;
  for (let i = 1; i <= k; i++) {
    resultado *= (n - i + 1) / i;
  }
  return resultado;
}

function binomial(n, k, p) {
  return combinaciones(n, k) * p ** k * (1 - p) ** (n - k);
}

console.log(binomial(4, 2, 0.5)); // 0.375

Pulsa Ejecutar para comprobar el ejemplo de cuatro ensayos.

37.10 Simulación de éxitos binomiales

Una simulación genera n ensayos de Bernoulli por cada experimento completo, cuenta sus éxitos y repite el proceso muchas veces. El histograma resultante se compara con la distribución teórica.

Conteo de éxitos observado

37.11 Relación con la suma de Bernoulli

Si Xi∼Bernoulli(p) son independientes, entonces su suma tiene distribución binomial. Por linealidad:

E(X1+···+Xn)=np

Y, como las covarianzas entre ensayos independientes son cero:

Var(X1+···+Xn)=np(1−p)

37.12 Aproximaciones

Para ciertos valores de n y p, una binomial puede aproximarse mediante una distribución normal, especialmente cuando np y n(1−p) son suficientemente grandes. Para p pequeño y n grande, manteniendo λ=np, puede aparecer una aproximación de Poisson.

Las aproximaciones ahorran cálculo, pero deben comprobarse sus condiciones y, cuando sea posible, compararse con el resultado binomial exacto.

37.13 Aplicaciones

La binomial modela cantidad de piezas defectuosas, respuestas correctas, clientes que convierten, paquetes entregados, pruebas positivas, éxitos en campañas y aciertos en algoritmos. La pregunta característica es: “¿cuántos éxitos aparecen en n oportunidades?”

37.14 Errores frecuentes

  • Usar binomial cuando la cantidad de ensayos no está fijada.
  • Confundir “exactamente k” con “al menos k” o “como máximo k”.
  • Olvidar el factor combinatorio C(n,k).
  • Suponer independencia en extracciones sin reemplazo.
  • Usar un p diferente en cada ensayo dentro de la fórmula binomial estándar.
  • Interpretar np como el resultado seguro de un experimento particular.

37.15 Qué debes recordar de este tema

X∼Binomial(n,p)
P(X=k)=C(n,k)pk(1−p)n−k
E(X)=np
Var(X)=np(1−p)

La binomial cuenta éxitos en n ensayos independientes de Bernoulli con probabilidad constante p.

37.16 Conclusión

La distribución binomial convierte muchos ensayos binarios en un modelo para contar éxitos. Su fórmula combina combinatoria y probabilidad, mientras que sus parámetros permiten anticipar el centro y la dispersión del conteo.

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