La distribución binomial negativa modela cuántos ensayos de Bernoulli se necesitan hasta obtener una cantidad fija de éxitos. Generaliza la distribución geométrica: la geométrica espera el primer éxito y la binomial negativa espera el r-ésimo.
En la distribución geométrica detenemos el proceso al primer éxito. En la binomial negativa fijamos un número r de éxitos y seguimos ensayando hasta obtenerlos.
La distribución binomial negativa supone ensayos independientes, dos resultados posibles en cada ensayo, una probabilidad constante p de éxito y un proceso que continúa hasta alcanzar r éxitos.
El parámetro r es un entero positivo y 0<p≤1. Si r=1, recuperamos la distribución geométrica.
Definimos X como el número total de ensayos necesarios para obtener r éxitos. Para que X=n:
La última condición garantiza que el éxito número r ocurre justamente en el ensayo n.
También podemos definir Y como la cantidad de fracasos que aparecen antes del r-ésimo éxito. En ese caso:
Las variables se relacionan mediante X=Y+r. Ambas convenciones describen el mismo proceso, pero sus valores y esperanzas difieren por el desplazamiento r.
Supongamos ensayos con p=0,4 y queremos que el tercer éxito aparezca en el quinto ensayo. En los primeros cuatro debe haber exactamente dos éxitos y el quinto debe ser éxito:
El coeficiente C(4,2) cuenta las posiciones de los dos primeros éxitos entre los cuatro ensayos iniciales.
Para X, el número de ensayos hasta el r-ésimo éxito:
La esperanza crece linealmente con r y disminuye cuando p aumenta. Si el éxito es raro, se necesitan más ensayos en promedio.
Para Y, el número de fracasos antes del r-ésimo éxito, la esperanza es E(Y)=r(1−p)/p y la varianza es la misma.
Si T1,...,Tr son esperas geométricas independientes hasta cada éxito consecutivo, entonces:
Por eso E(X)=r·(1/p) y Var(X)=r·((1−p)/p²). La binomial negativa puede verse como la suma de r esperas geométricas independientes.
Las barras muestran la probabilidad de que el r-ésimo éxito ocurra en cada ensayo. La línea vertical señala el número esperado de ensayos.
Una función puede simular ensayos hasta alcanzar r éxitos y devolver el número total de intentos:
function ensayosHastaRExitos(r, p) {
let exitos = 0;
let ensayos = 0;
while (exitos < r) {
ensayos++;
if (Math.random() < p) exitos++;
}
return ensayos;
}
console.log(ensayosHastaRExitos(3, 0.4));Pulsa Ejecutar para observar una espera aleatoria hasta el tercer éxito.
La simulación repite el proceso completo y cuenta en qué ensayo se alcanza el objetivo. Las frecuencias observadas se comparan con las probabilidades teóricas.
Se pueden calcular preguntas como “¿cuál es la probabilidad de alcanzar r éxitos antes o en n ensayos?” sumando P(X=j) desde j=r hasta n:
También puede expresarse mediante la probabilidad de obtener al menos r éxitos en los primeros n ensayos, una conexión útil con la distribución binomial.
La binomial fija n y pregunta cuántos éxitos aparecen. La binomial negativa fija r y pregunta cuántos ensayos hacen falta:
Elegir el modelo depende de qué cantidad está controlada en el experimento.
En algunos datos de conteos, la variabilidad observada es mayor que la que predice un modelo binomial o de Poisson. La binomial negativa puede ser útil porque permite una relación entre media y varianza más flexible.
En ese uso estadístico, sus parámetros pueden parametrizarse de maneras diferentes. Es importante distinguir la interpretación de “ensayos hasta r éxitos” de las parametrizaciones empleadas en modelos de conteo.
Se aplica a intentos hasta conseguir varias conversiones, llamadas hasta obtener r respuestas, pruebas hasta detectar r fallas, clientes hasta lograr r compras y procesos de calidad que esperan un número fijo de éxitos.
La binomial negativa describe el número de ensayos necesarios para alcanzar r éxitos en ensayos independientes con probabilidad constante p. Con r=1 se convierte en la distribución geométrica.
La distribución binomial negativa amplía el modelo geométrico y permite analizar esperas hasta varios éxitos. Su fórmula combina la cantidad de posiciones posibles de los primeros r−1 éxitos con la probabilidad del éxito final.