La distribución de Poisson modela la cantidad de veces que ocurre un evento en un intervalo de tiempo, espacio o cualquier otra unidad de exposición, cuando conocemos una tasa media de ocurrencia.
Muchas situaciones no preguntan cuándo ocurre el próximo evento, sino cuántas veces ocurre dentro de una ventana: llamadas recibidas en una hora, errores en un archivo, llegadas a una cola o fallas en un tramo.
La distribución de Poisson tiene un único parámetro λ, con λ>0. Representa la cantidad media de eventos por intervalo:
Si una central recibe en promedio 12 llamadas por hora, λ=12 para una hora. Para media hora, suponiendo una tasa constante, el parámetro es λ=6.
La probabilidad de observar exactamente k eventos es:
El factorial k! y la potencia de λ combinan las distintas formas en que pueden ocurrir los eventos. El factor e−λ garantiza la normalización de todas las probabilidades.
Para k=0:
Con λ=2, la probabilidad de que no ocurra ningún evento en el intervalo es e−2≈0,1353. La probabilidad de al menos un evento se obtiene mediante el complemento: 1−e−λ.
Supongamos que un proceso produce en promedio λ=3 errores por cada 1000 registros. La probabilidad de encontrar exactamente 2 errores en un bloque es:
El promedio 3 no es el único resultado posible. La distribución asigna probabilidades a 0,1,2,3 y más errores.
Si la tasa es constante, λ cambia proporcionalmente con la longitud del intervalo. Si la tasa es 4 eventos por hora:
Esta propiedad permite convertir una tasa por unidad en el parámetro apropiado para la ventana de observación.
La distribución de Poisson puede aproximar una binomial cuando n es grande, p es pequeño y λ=np se mantiene moderado:
La aproximación es útil cuando contamos eventos raros entre muchas oportunidades. La binomial parte de un número fijo de ensayos; Poisson se interpreta como un conteo en un intervalo con una tasa media.
Modifica λ para observar cómo se desplaza y cambia la forma de la distribución. La línea vertical indica la media, que coincide con λ.
La probabilidad puntual puede calcularse con una función factorial:
function factorial(n) {
let resultado = 1;
for (let i = 2; i <= n; i++) resultado *= i;
return resultado;
}
function poisson(k, lambda) {
return Math.exp(-lambda) * lambda ** k / factorial(k);
}
console.log(poisson(2, 3)); // aproximadamente 0.2240Pulsa Ejecutar para calcular la probabilidad de exactamente dos eventos cuando λ=3.
La simulación genera conteos de Poisson y compara la frecuencia observada con la distribución teórica. Para generar un conteo se puede simular el proceso de llegadas hasta superar una unidad de probabilidad acumulada.
Si X y Y son independientes y siguen distribuciones de Poisson con parámetros λ1 y λ2, entonces:
Por ejemplo, si dos servidores reciben de forma independiente 3 y 5 solicitudes por minuto, el total recibe en promedio 8 y puede modelarse con Poisson(8), bajo las hipótesis adecuadas.
En un proceso de Poisson homogéneo, los conteos de intervalos disjuntos son independientes. Esta propiedad permite dividir una hora en minutos, modelar cada segmento y sumar los conteos.
Si la tasa cambia con el tiempo, puede ser necesario usar un proceso no homogéneo o dividir el intervalo en tramos con tasas diferentes.
Poisson aparece en llamadas, llegadas a sistemas, errores de transmisión, defectos por metro de material, fallas por período, accidentes, consultas a una API y eventos raros distribuidos en tiempo o espacio.
Poisson modela el número de eventos en un intervalo cuando existe una tasa media y las ocurrencias cumplen condiciones de independencia y estabilidad razonables.
La distribución de Poisson ofrece un modelo directo para contar eventos en intervalos. Su único parámetro controla simultáneamente el centro y la dispersión, y su relación con la binomial permite aproximar conteos de eventos raros entre muchas oportunidades.