La distribución exponencial modela el tiempo de espera hasta que ocurre el próximo evento en un proceso con tasa constante. Es la versión continua de la espera geométrica y se relaciona directamente con el proceso de Poisson.
Poisson cuenta cuántos eventos ocurren en un intervalo. La distribución exponencial responde una pregunta diferente: ¿cuánto tiempo debemos esperar hasta el próximo evento?
Si T tiene distribución exponencial con tasa λ>0, escribimos T∼Exponencial(λ). Su densidad es:
La densidad no es una probabilidad puntual. La probabilidad de un intervalo se obtiene calculando el área bajo la curva.
La probabilidad de que la espera no supere t unidades es:
Su complemento es especialmente importante:
La cola indica la probabilidad de que todavía no haya ocurrido ningún evento después de t unidades.
Si una API recibe en promedio λ=2 solicitudes por segundo, el tiempo hasta la próxima solicitud puede modelarse aproximadamente con una exponencial de tasa 2. La probabilidad de esperar más de 1 segundo es:
La probabilidad de que llegue una solicitud durante el primer medio segundo es 1−e−1≈0,6321.
Para T∼Exponencial(λ):
La tasa λ y el tiempo medio son inversos. Una tasa de 4 eventos por minuto corresponde a una espera media de 1/4 de minuto.
La distribución exponencial es la única distribución continua usual con la propiedad:
Si ya hemos esperado s unidades sin que ocurra el evento, la distribución de la espera adicional de t unidades no cambia. El tiempo transcurrido no hace que el próximo evento esté “más cerca” dentro de este modelo.
En un proceso de Poisson homogéneo con tasa λ, los tiempos entre eventos consecutivos son variables exponenciales independientes con la misma tasa λ.
Esta relación permite pasar de preguntas sobre conteos a preguntas sobre esperas.
Modifica λ para observar cómo cambia la densidad y calcula la probabilidad de esperar más de un tiempo t.
La transformación inversa permite generar una espera exponencial a partir de un número uniforme U:
function exponencial(lambda) {
const uniforme = Math.random();
return -Math.log(1 - uniforme) / lambda;
}
const espera = exponencial(2);
console.log(espera); // tiempo aleatorio no negativoPulsa Ejecutar para generar una espera con tasa λ=2.
La simulación produce tiempos exponenciales y calcula la proporción de esperas mayores que t. Esa frecuencia se compara con e−λt.
La tasa instantánea de ocurrencia, o hazard, de la distribución exponencial es constante e igual a λ:
Esto expresa matemáticamente la falta de memoria: condicionado a que el evento todavía no ocurrió, la tasa de aparición no depende de cuánto tiempo haya transcurrido.
La tasa debe expresarse en la unidad temporal que usamos. Si λ=120 eventos por hora, entonces λ=2 eventos por minuto. La espera media será 1/120 horas o 1/2 minuto: ambas expresiones describen el mismo tiempo.
La exponencial supone una tasa constante y ausencia de envejecimiento. No siempre es adecuada para componentes cuya probabilidad de falla aumenta con el tiempo, procesos con horarios de alta y baja actividad o eventos que se agrupan.
En esos casos pueden ser necesarios modelos Weibull, procesos no homogéneos u otras distribuciones de tiempos de espera.
Se usa para modelar tiempos entre llegadas, intervalos entre fallas, espera hasta una solicitud, duración de una llamada bajo hipótesis simples, tiempos de servicio y eventos aleatorios en redes o sistemas.
La distribución exponencial modela el tiempo hasta el próximo evento de un proceso con tasa constante y posee la propiedad de falta de memoria.
La distribución exponencial es el modelo continuo natural para esperas entre eventos de Poisson. Su densidad decreciente, sus fórmulas simples y su falta de memoria la convierten en una herramienta importante para analizar llegadas, fallas y tiempos de servicio.