La normal estándar es la distribución normal con media 0 y desviación estándar 1. La variable Z permite transformar cualquier variable normal y consultar sus probabilidades en una escala común.
La variable normal estándar se escribe Z∼Normal(0,1). Su densidad es:
La media es 0, la varianza es 1 y la desviación estándar es 1. El área total bajo la curva vale 1.
Si X∼Normal(μ,σ), con σ>0, podemos estandarizar cualquier valor:
La transformación resta la media y divide por la desviación estándar. Así convierte la escala original de X en unidades comparables para usar la normal estándar.
Una puntuación z indica la distancia de un valor a la media expresada en desviaciones estándar:
El signo indica el lado de la media y el valor absoluto indica la distancia.
La función de distribución acumulada de Z es:
No existe una expresión elemental sencilla para esta integral. Se utilizan tablas, calculadoras, bibliotecas numéricas o aproximaciones computacionales.
La simetría de la normal estándar permite relacionar áreas positivas y negativas:
Por ejemplo, si Φ(1,96)≈0,975, entonces Φ(−1,96)≈0,025. El área entre −1,96 y 1,96 es aproximadamente 0,95.
Estos valores aparecen en intervalos, pruebas y reglas prácticas. El valor exacto puede variar según la cantidad de decimales utilizados.
Si conocemos una puntuación z y queremos recuperar el valor de X, despejamos:
Por ejemplo, si μ=70, σ=10 y z=1,5, el valor original es x=70+1,5·10=85.
Selecciona un intervalo de puntuaciones z. El área sombreada representa P(a≤Z≤b) y el resultado numérico utiliza una aproximación de la CDF normal.
Podemos calcular una aproximación de Φ(z) mediante la función de error:
function erf(x) {
const signo = x < 0 ? -1 : 1;
x = Math.abs(x);
const t = 1 / (1 + 0.3275911 * x);
const p = 1 - (((((1.061405429 * t
- 1.453152027) * t + 1.421413741) * t
- 0.284496736) * t + 0.254829592) * t
* Math.exp(-x * x);
return signo * p;
}
function normalEstandarAcumulada(z) {
return 0.5 * (1 + erf(z / Math.sqrt(2)));
}
console.log(normalEstandarAcumulada(1.96)); // aprox. 0.975Pulsa Ejecutar para aproximar el área acumulada hasta z=1,96.
La simulación genera valores de una normal estándar y cuenta cuántos caen dentro del intervalo elegido. La frecuencia se compara con el área teórica.
Un percentil corresponde al valor que deja un área acumulada determinada a la izquierda. Por ejemplo, el percentil 97,5% de la normal estándar es aproximadamente z=1,96:
Para una variable X∼Normal(μ,σ), el percentil equivalente es μ+1,96σ.
Una tabla de la normal estándar suele mostrar Φ(z), el área entre 0 y z o la cola derecha. Antes de leerla hay que identificar qué convención utiliza y aplicar simetría si z es negativo.
Las tablas impresas redondean. En programación, una función CDF proporciona normalmente más precisión y permite automatizar muchos valores.
La normal estándar se usa para comparar mediciones, calcular probabilidades, obtener percentiles, construir intervalos, analizar errores y estandarizar variables en estadística y ciencia de datos.
La normal estándar permite expresar cualquier valor normal en unidades de desviación estándar y calcular áreas mediante una única distribución de referencia.
La distribución normal estándar es el lenguaje común para comparar valores normales. Sus puntuaciones z, áreas acumuladas y percentiles conectan la fórmula de la normal con cálculos prácticos y preparan el estudio de otras distribuciones estandarizadas.