El teorema central del límite explica por qué los promedios y las sumas de muchas variables aleatorias tienden a comportarse como una distribución normal, incluso cuando cada observación individual no es normal.
Consideremos variables independientes con la misma distribución, media μ y varianza σ² finita. Al sumar muchas observaciones, la forma exacta de la distribución original pierde importancia y aparece una forma aproximadamente normal.
La estandarización permite comparar sumas provenientes de problemas distintos usando una misma normal estándar.
Como X̄n=(ΣXi)/n, el teorema también puede expresarse así:
Por lo tanto, el promedio muestral se aproxima a una distribución normal con media μ y desviación estándar σ/√n. A esta desviación se la llama error estándar del promedio.
La suma crece con n y tiene media nμ, mientras que el promedio mantiene media μ. Ambos contienen la misma información; la forma de escribirlos depende de la pregunta que se quiera responder.
No existe un tamaño muestral universal. Si la distribución original es casi simétrica, n puede ser moderado. Si es muy asimétrica o tiene colas pesadas, se necesita una muestra mayor. Para proporciones suelen usarse las condiciones n p≥5 y n(1−p)≥5 como regla orientativa.
La calidad debe evaluarse considerando la forma de la población, la independencia y la varianza.
Si X es 1 cuando aparece cara y 0 cuando aparece cruz, para una moneda con probabilidad p de cara se tiene μ=p y σ²=p(1−p). El número de caras en n lanzamientos tiene distribución binomial y, con n suficiente, puede aproximarse mediante una normal.
Para calcular probabilidades sobre un conteo entero conviene usar la corrección de continuidad.
Para un dado equilibrado, μ=3,5 y σ²=35/12. El promedio de n tiradas se aproxima a:
A medida que aumenta n, la campana se hace más estrecha alrededor de 3,5. Las puntuaciones individuales siguen siendo discretas, pero el promedio puede tomar muchos valores y se aproxima a una variable continua.
Para aproximar una probabilidad sobre un promedio, se transforma el límite a una puntuación z:
Después se consulta la distribución normal estándar. Cuanto más alejado esté z de cero, menor será la probabilidad acumulada en esa dirección.
Cuando una variable discreta se aproxima con una normal continua, se ajustan los límites en media unidad. Por ejemplo:
Este ajuste reconoce que el valor entero k representa un intervalo alrededor de k. Suele mejorar la aproximación, especialmente con tamaños no muy grandes.
El siguiente programa genera promedios de lanzamientos de un dado. Al repetirlo, la distribución de esos promedios adopta una forma aproximadamente acampanada:
function promedioDado(tamano) {
let suma = 0;
for (let i = 0; i < tamano; i++) {
suma += 1 + Math.floor(Math.random() * 6);
}
return suma / tamano;
}
console.log(promedioDado(50));Pulsa Ejecutar para obtener un promedio muestral.
El histograma muestra cuántos promedios simulados caen en cada intervalo. La línea vertical marca la media teórica del dado.
La colección de todos los promedios que podrían obtenerse con muestras de tamaño n se llama distribución muestral de la media. Su centro es μ y su dispersión es σ/√n, aunque la población original tenga una forma diferente.
Esto permite construir intervalos y calcular errores sin enumerar todas las muestras posibles.
Si las observaciones están correlacionadas, la cantidad de información puede ser menor que n. En series temporales, por ejemplo, los datos cercanos suelen parecerse. Aplicar directamente σ/√n puede subestimar el error.
Antes de usar el teorema se debe estudiar cómo se obtuvieron los datos.
El teorema fundamenta encuestas, control de calidad, estimación de medias y proporciones, métodos Monte Carlo, análisis de errores de medición, inferencia estadística y aproximaciones de distribuciones discretas como binomial y Poisson.
La ley de los grandes números afirma que el promedio se acerca a μ. El teorema central del límite agrega una descripción de las fluctuaciones alrededor de μ:
Uno habla de estabilidad; el otro permite cuantificar el error de esa estabilidad.
El teorema central del límite explica la presencia universal de la normal en promedios y sumas. Con independencia, varianza finita y un tamaño adecuado, convierte problemas complejos en cálculos normalizados manejables.