El método de Monte Carlo utiliza muestreo aleatorio para aproximar probabilidades, áreas, integrales y valores esperados. Cuando un cálculo exacto es complicado, muchas observaciones sencillas pueden producir una estimación útil.
En lugar de resolver directamente una expresión, se construye una variable aleatoria cuyo promedio tenga como esperanza la cantidad buscada. Luego se generan observaciones y se calcula su media.
Para estimar P(A), definimos I=1 si ocurre A y 0 en caso contrario. Entonces E(I)=P(A), de modo que la frecuencia relativa de éxitos es un estimador Monte Carlo.
Este enfoque funciona tanto para una moneda sencilla como para eventos complejos en sistemas con muchas etapas.
Si X es uniforme en [a,b], una integral puede expresarse como:
Por lo tanto, se generan valores uniformes, se evalúa f en cada uno y se multiplica el promedio por la longitud del intervalo.
Otra técnica consiste en colocar puntos uniformemente en una región sencilla. La proporción que cae dentro de la figura estima el cociente de áreas:
El ejemplo clásico del círculo unitario permite estimar π usando un cuadrado de lado 2.
Para cada punto (x,y) generado uniformemente en [-1,1]², comprobamos si x²+y²≤1. La probabilidad de caer dentro del círculo es π/4:
La estimación es conceptualmente simple, aunque la convergencia es lenta: duplicar la precisión suele requerir aproximadamente cuadruplicar la cantidad de puntos.
Si Y tiene varianza finita τ², el promedio de n simulaciones tiene desviación estándar τ/√n. Este es el error estándar de Monte Carlo.
El error no disminuye proporcionalmente a 1/n. Por eso son importantes las técnicas de reducción de varianza y el diseño eficiente de las simulaciones.
Con muchas observaciones y condiciones adecuadas, el teorema central del límite permite construir un intervalo aproximado:
El intervalo cuantifica la incertidumbre de la simulación. No debe confundirse con una garantía absoluta de que el valor exacto está dentro.
Para f(x)=x² en [0,1], la integral exacta es 1/3. Monte Carlo aproxima esa cantidad calculando el promedio de X² para valores uniformes X.
Este ejemplo es útil porque permite comparar la estimación con una respuesta conocida y comprobar el comportamiento del error.
El siguiente código estima π mediante puntos aleatorios:
function estimarPi(puntos) {
let dentro = 0;
for (let i = 0; i < puntos; i++) {
const x = 2 * Math.random() - 1;
const y = 2 * Math.random() - 1;
if (x * x + y * y <= 1) dentro++;
}
return 4 * dentro / puntos;
}
console.log(estimarPi(100000));Pulsa Ejecutar para obtener una aproximación aleatoria de π.
Elige entre estimar π o integrar x² en [0,1]. El gráfico muestra la trayectoria de la estimación a medida que aumentan las muestras.
Si dos métodos tienen el mismo valor esperado, conviene elegir el que produzca menos dispersión. Variables antitéticas, muestreo estratificado, variables de control e importancia son técnicas que pueden reducir el número de simulaciones necesario.
La meta no es cambiar la respuesta esperada, sino disminuir la variabilidad del estimador.
Se divide el dominio en regiones y se toma una cantidad controlada de muestras en cada una. Esto evita que una zona importante quede poco representada por azar.
En integración, repartir puntos entre subintervalos puede ser más eficiente que lanzar todos los puntos sin estructura.
Monte Carlo se aplica en finanzas, seguros, física, ingeniería, optimización, gráficos por computadora, análisis de riesgos, fiabilidad, colas y cálculo numérico. Es especialmente útil en dimensiones altas, donde las cuadrículas tradicionales se vuelven costosas.
Un flujo ordenado es: definir la cantidad objetivo, construir un estimador, elegir cómo generar las muestras, ejecutar suficientes repeticiones, medir la variabilidad y validar con casos conocidos.
Registrar semilla, parámetros y versión del programa permite repetir y auditar el experimento.
El método de Monte Carlo convierte problemas de cálculo y probabilidad en promedios de simulaciones. Su sencillez es poderosa, pero la precisión depende del tamaño de muestra, la variabilidad y la calidad del modelo.