Las operaciones entre eventos permiten combinar condiciones y construir nuevos sucesos. Con unión, intersección, diferencia y complemento podemos expresar preguntas probabilísticas cada vez más precisas.
Un evento es un subconjunto del espacio muestral. Si tenemos dos eventos A y B, podemos preguntarnos qué resultados pertenecen a uno, a ambos o a ninguno.
Estas preguntas se resuelven usando operaciones de conjuntos. La ventaja de esta representación es que una operación tiene una definición precisa y puede traducirse directamente a una condición en un programa.
Consideraremos el espacio muestral:
La unión de A y B, escrita A ∪ B, contiene todos los resultados que pertenecen a A, a B o a ambos. En lenguaje cotidiano, corresponde a “A o B”, donde el “o” es inclusivo.
El resultado 6 aparece una sola vez aunque pertenece a los dos eventos. La unión no duplica elementos.
Más adelante estudiaremos esta fórmula con detalle. El término de intersección se resta porque los resultados comunes se habrían contado dos veces.
La intersección de A y B, escrita A ∩ B, contiene únicamente los resultados que pertenecen simultáneamente a ambos eventos. En lenguaje cotidiano significa “A y B”.
Si la intersección es vacía, los eventos no pueden ocurrir juntos en una misma realización. Esta situación se estudiará más adelante con el concepto de eventos mutuamente excluyentes.
La diferencia A − B contiene los resultados que pertenecen a A pero no a B. También puede escribirse como A ∩ Bc.
La diferencia no es conmutativa: generalmente A − B es distinto de B − A. El orden indica qué evento aporta los resultados que estamos filtrando.
El complemento de A, escrito Ac, contiene todos los resultados de Ω que no pertenecen a A:
El complemento permite transformar “ocurre A” en “no ocurre A”. Por eso:
| Propiedad | Unión | Intersección |
|---|---|---|
| Conmutativa | A ∪ B = B ∪ A | A ∩ B = B ∩ A |
| Asociativa | (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) | (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) |
| Idempotente | A ∪ A = A | A ∩ A = A |
| Con Ω y ∅ | A ∪ Ω = Ω; A ∪ ∅ = A | A ∩ Ω = A; A ∩ ∅ = ∅ |
Estas propiedades son útiles para simplificar expresiones y comprobar si dos descripciones representan el mismo evento.
Las leyes de De Morgan relacionan complementos con unión e intersección:
La primera ley dice que “no ocurre A ni B” equivale a “no ocurre A y no ocurre B”. La segunda dice que “no ocurre A y B simultáneamente” equivale a “no ocurre A o no ocurre B”.
Estas equivalencias aparecen con frecuencia al transformar condiciones lógicas en código.
El siguiente gráfico es una representación nueva para este curso. Muestra el espacio muestral como un rectángulo, A y B como dos regiones circulares y resalta el resultado de la operación seleccionada.
Además de la región coloreada, el gráfico muestra los números del espacio muestral. Esto permite comprobar que una operación de conjuntos también puede interpretarse como un filtro sobre resultados.
Los métodos filter e includes permiten implementar las operaciones básicas:
const A = [2, 4, 6, 8, 10, 12];
const B = [3, 6, 9, 12];
const union = [...new Set([...A, ...B])];
const interseccion = A.filter(x => B.includes(x));
const diferencia = A.filter(x => !B.includes(x));
console.log(union); // [2, 4, 6, 8, 10, 12, 3, 9]
console.log(interseccion); // [6, 12]
console.log(diferencia); // [2, 4, 8, 10]En una aplicación más grande conviene usar conjuntos de JavaScript (Set) para evitar duplicados y mejorar las búsquedas.
Podemos elegir un número al azar entre 1 y 12 y verificar si pertenece al resultado de una operación. La simulación compara la frecuencia observada con el porcentaje teórico de resultados favorables.
La frecuencia cambia en cada ejecución porque la selección es aleatoria. Con más repeticiones suele acercarse al porcentaje teórico de resultados que pertenecen a la operación.
Las operaciones entre eventos se relacionan directamente con operadores lógicos:
| Operación | Condición para un resultado x | Equivalente lógico |
|---|---|---|
| A ∪ B | x pertenece a A o a B | condicionA || condicionB |
| A ∩ B | x pertenece a A y a B | condicionA && condicionB |
| A − B | x pertenece a A y no a B | condicionA && !condicionB |
| Aᶜ | x no pertenece a A | !condicionA |
Las operaciones entre eventos permiten construir preguntas probabilísticas complejas a partir de condiciones simples. La unión, la intersección, la diferencia y el complemento forman un lenguaje común entre la teoría de conjuntos, la lógica y la programación.
En el próximo tema aplicaremos estas ideas mediante diagramas de Venn específicamente orientados al cálculo y la interpretación de probabilidades.