Discretos y continuos

01 · Punto de partida

Lo que salta y lo que fluye

Los clientes llegan de a uno: la cola salta. El agua entra sin pausa: el nivel fluye. Los modelos discretos cambian en instantes contables (eventos); los continuos cambian a cada momento (tasas).

• ¿El estado cambia de a saltos o sin parar?
• ¿Qué conviene contar: eventos o tiempo corrido?
• ¿Con qué paso simulo el flujo sin romperlo?
• ¿Dónde duele más el error: en el salto o en la tasa?

02 · Definiciones

Saltos y flujos

03 · El reloj

Tres formas de avanzar el tiempo

1. 1
   Por eventos.

   Saltar al próximo evento: ideal discreto, sin pasos vacíos. La agenda manda.

2. 2
   Por paso fijo.

   Avanzar dt parejos: simple y versátil. El paso manda el error y el costo.

3. 3
   Continuo exacto.

   Resolver la tasa con matemática (cuando se puede): sin pasos ni error de reloj.

Evento

Instante donde algo cambia: llegada, salida, ruptura.

Tasa

Velocidad de cambio: litros por minuto, clientes por hora.

Paso dt

Pedacito de tiempo simulado de una vez.

Método de Euler

Avanzar nuevo = actual + tasa × dt: simple y aproximado.

04 · Puentes

Discretizar flujos, suavizar eventos

Todo flujo simulado en computadora se discretiza: la pregunta es con qué dt el error deja de importar. Y muchos discretos se suavizan con tasas promedio para estimar rápido. El Tema 15 mezclará ambos mundos.

05 · En Python

Eventos que saltan, Euler que fluye

def max_cola(llegadas, duracion):
    # Discreto por eventos: llegadas ordenadas, un servidor.
    libre, cola, pico = 0, 0, 0
    for t in llegadas:
        if t >= libre:
            libre = t + duracion
            cola = 0
        else:
            cola = cola + 1
            pico = max(pico, cola)
            libre = libre + duracion
    return pico


print(max_cola([0, 1, 2, 5], 2))

Euler: el flujo en pedacitos

def euler(n0, entrada, salida, dt, pasos):
    # Continuo aproximado: tasa fija durante cada dt.
    n = n0
    historia = []
    for t in range(pasos):
        n = n + (entrada - salida) * dt
        historia.append(round(n, 2))
    return historia


print(euler(10, 3, 2, 0.5, 6))

06 · Exploración

Laboratorio: el paso que miente

Un llenado que se frena solo (tasa proporcional a lo que falta). La curva blanca es la solución exacta; las otras, Euler con paso grueso y fino. Achicá el paso y mirá converger.

Euler supone la tasa fija en cada paso: cuanto más largo el paso, más vieja la tasa y mayor el error.

Preguntas para explorar

1. Con k = 0,8 y paso 3, ¿el grueso todavía parece un llenado? ¿Qué inventa?
2. Bajá el paso grueso a 0,5. ¿Cuánto cae su error?
3. ¿En qué casos usarías eventos y en cuáles Euler?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: leer eventos

Con llegadas en 0, 1, 2 y 5 y atención de 2, ¿cuál es la cola máxima? Ejecutá y razoná cada evento.

def max_cola(llegadas, duracion):
    libre, cola, pico = 0, 0, 0
    for t in llegadas:
        if t >= libre:
            libre = t + duracion
            cola = 0
        else:
            cola = cola + 1
            pico = max(pico, cola)
            libre = libre + duracion
    return pico


print(max_cola([0, 1, 2, 5], 2))

Ejercicio 2: Euler a mano

Calculá 6 pasos de Euler con n0 = 10, tasa neta 1 y dt = 0,5. ¿A dónde llega?

def euler(n0, entrada, salida, dt, pasos):
    n = n0
    historia = []
    for t in range(pasos):
        n = n + (entrada - salida) * dt
        historia.append(round(n, 2))
    return historia


print(euler(10, 3, 2, 0.5, 6))

Ejercicio 3: elegir el reloj

Clasificá cada caso en eventos, paso fijo o continuo exacto: cola del banco, temperatura del tanque, interés mensual, llenado con freno.

casos = {
    "cola del banco": "eventos",
    "temperatura del tanque": "paso fijo (Euler)",
    "interes mensual": "paso fijo (periodo dado)",
    "llenado con freno": "continuo exacto o Euler fino",
}
for c, r in casos.items():
    print(c, "->", r)

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema mezclaremos ambos mundos: modelos híbridos.