Período de un generador

01 · Punto de partida

Finito por dentro, cíclico por fuera

En los Temas 4 y 7 viste el síntoma: con módulo 16 la secuencia se repetía calcada cada 16. No era casualidad de esos parámetros: es un teorema de cajón. Un generador guarda su estado en bits finitos (32, 64, 19937…); hay solo finitos estados posibles. Tarde o temprano un estado se repite, y desde ahí toda la historia futura se repite idéntica.

Ese largo del ciclo es el período p: la cantidad de valores antes de volver al inicio. Si tu simulación consume más valores que el período, estás reutilizando el mismo «azar» dos veces sin saberlo.

• ¿Qué es exactamente el período y qué no es?
• ¿Por qué el estado finito obliga al ciclo?
• ¿Cuánto más grande debe ser el período que tu N?
• ¿Cómo lo medís con código en un juguete y qué inferís en uno real?

02 · Definición

Ciclo, cola y período máximo

03 · Medición

Medir el ciclo sin perderse

Diccionario de vistos

Guardá estado → índice hasta repetir: la distancia es el período. Solo viable con m chico (juguetes).

Distintos en N

Si con N = 5000 solo hay 8 distintos, el período ≤ 8 sin más teoría. Es el olfato del Tema 7.

Marca de repetición

Graficá u(n) y marcá dónde reaparece x₀: ahí cierra el primer ciclo.

Teoría, no fuerza bruta

Con m = 2³² no podés iterar el período: se demuestra con aritmética (Temas 13–14), no corriendo.

04 · Ejemplos

El mismo N, tres destinos

1. 1
   Juguete bueno, N = 48.

   p = 16: 3 vueltas exactas. El gráfico se repite calcado 3 veces.

2. 2
   Malo, N = 48.

   p = 4: 12 vueltas. Tu «azar» tiene 4 valores distintos.

3. 3
   Real, N = 10⁶.

   Con p ≈ 2·10⁹: 0,05 % del ciclo. Ni te enterás del anillo.

05 · Cómputo en Python

Detectar el período en un juguete

Con módulo chico podés ver el cierre del ciclo con tus ojos y generalizar la idea.

def periodo(semilla, a, c, m):
    visto = {}
    x = semilla
    i = 0
    while x not in visto:
        visto[x] = i
        x = (a * x + c) % m
        i += 1
    return i - visto[x]


print("bueno:", periodo(7, 5, 3, 16))
print("malo:", periodo(7, 4, 2, 16))

Bueno ≈ 16, malo ≤ 4. Esa sola línea decide si el generador sirve para algo más que un dibujo.

¿Cuántas vueltas das?

p, N = 16, 48
print("vueltas:", N / p)
print("fracción usada del ciclo real 2**31:", 10**6 / 2**31)

06 · Exploración

Laboratorio: vueltas al anillo

Elegí parámetros y N. La línea vertical marca el fin del primer período; si N lo supera, verás el dibujo repetirse. El panel informa p, vueltas y estados distintos.

Pasada la marca vertical, todo es repetición calcada: el generador no tiene nada nuevo para darte.

Preguntas para explorar

1. Con (5,3,16) y N = 16, ¿cuántas vueltas das? ¿Y con N = 48?
2. Poné (4,2,16): ¿p? ¿Cuántas vueltas con N = 48? ¿Qué histograma saldría?
3. Si tu simulación necesita 10⁶ valores, ¿qué p mínimo pedirías con criterio conservador?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: bueno vs. malo

Medí p de ambos con m = 32. ¿Cuál llega a 32?

def periodo(semilla, a, c, m):
    visto = {}
    x = semilla
    i = 0
    while x not in visto:
        visto[x] = i
        x = (a * x + c) % m
        i += 1
    return i - visto[x]


print(periodo(3, 13, 7, 32))
print(periodo(3, 4, 2, 32))

Ejercicio 2: vueltas

Si p = 8 y N = 200, ¿cuántas vueltas das? ¿Cuántos valores distintos como máximo verás?

p, N = 8, 200
print("vueltas:", N / p)
print("distintos <=", min(p, N))

Ejercicio 3: regla de oro

Tu simulación consume 5·10⁶ valores. Con criterio p > 1000·N, ¿qué p exigirías? ¿Alcanza un LCG de 2³¹?

N = 5_000_000
print("p exigido:", 1000 * N)
print("p LCG 2**31:", 2**31 - 1)
print("alcanza:", (2**31 - 1) > 1000 * N)

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema viajaremos en el tiempo: la historia de los generadores pseudoaleatorios, de tablas y dados a Mersenne Twister.